Równanie, suma odwrotności, stała i 99 rozw.

[patry93]

Witam.

Czy istnieje \(\displaystyle{ p \in \mathbb{Z_+}}\) taka, że równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}}\) ma w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{Z_+}}\) dokładnie 99 rozwiązań?

Proste wnioski:

Ukryta treść:    

Jeśli byłoby \(\displaystyle{ x=y}\), to \(\displaystyle{ 2p=x}\), więc dla każdego \(\displaystyle{ p}\) będzie wtedy dokładnie jedno rozwiązanie.
Niech \(\displaystyle{ x>y}\), wtedy z symetryczności równania, musi ono posiadać 49 rozwiązań. Przekształcając dochodzimy do \(\displaystyle{ x=\frac{py}{y-p}}\) o ile \(\displaystyle{ y \neq p}\), co łatwo odrzucić. Lewa strona dodatnia, więc prawa też, czyli \(\displaystyle{ y>p}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x>y}\), więc \(\displaystyle{ \frac{py}{y-p} > y \iff y(2p-y)>0 \Rightarrow 2p>y>p}\)
Tutaj się zawieszam. Próbowałem coś w stylu \(\displaystyle{ y=p+k}\), wtedy \(\displaystyle{ x=p+ \frac{p^2}{k}}\), ale nie widzę nic dalej.

Pozdrawiam.

[Elminster]

A może w ten sposób:

Z zadania wiemy, że wszystkie zmienne są niezerowe, mnożymy stronami razy \(\displaystyle{ xyp}\)

\(\displaystyle{ xp+yp=xy \Leftrightarrow 0=xy-xp-yp+p^2-p^2 \Leftrightarrow 0=(x-p)(y-p)-p^2 \Leftrightarrow p^2=(x-p)(y-p)}\)

I zadanie sprowadza się do sprawdzenia czy istnieje kwadrat liczby naturalnej, który można przedstawić w postaci iloczynu liczb naturalnych (x-p i y-p to na pewno liczby całkowite dodatnie) na 99 sposobów (przy czym zakładamy, że rozłożenie a*b, jest innym niż b*a).

Jednym z rozłożeń, na pewno będzie: \(\displaystyle{ p*p}\). Pozostaje znaleźć 49 pozostałych rozłożeń (i ich 49 "odpowiedników").

Myślę, że można by pójść tą drogą, ale dalej rozumowanie trochę się zaowalowuje (trzeba pokombinować z rozkładem na czynniki, żeby sprawdzić czy istnieje taka liczba, która ma te 49 rozłożeń "właściwych").