istnienie liczby, , niezerowe reszty modulo p.

[Wendigo]

Niech p będzie liczbą pierwszą większą od 2. niech \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n}\) będą parami różnymi niezerowymi resztami modulo p, analogicznie \(\displaystyle{ b_1,b_2,...,b_n}\). Udowodnij, że istnieją różne liczby k i l takie, że \(\displaystyle{ p|(a_kb_k-a_lb_l)}\).

\(\displaystyle{ NWD(n,10)=1}\) wykaż, że istnieje taka liczba 111...1 (składająca się z samych jedynek), że \(\displaystyle{ n|111...1}\).

Z góry dzięki!

[BettyBoo]

1) Jaki związek jest między \(\displaystyle{ n, p}\)? Coś więcej o układzie reszt? Jakaś zależność między nimi?

2) Zapisz 111...1 w innej postaci

Pozdrawiam.

[Wendigo]

no więc
\(\displaystyle{ a_i}\) i=1,2,...,n
może przyjmować wartości: 1,2,3,...,p-1
tak samo z \(\displaystyle{ b_j}\) j=1,2,3,...,n

ale za bardzo nie widzę co dalej.
co do drugiego to próbowałem podzielić tę liczbę na załóżmy \(\displaystyle{ a}\) grup po \(\displaystyle{ k}\) jedynek w każdej (i nasza liczba składa się z \(\displaystyle{ ak}\) jedynek, wtedy 1111...1=K (k jedynek) i:
\(\displaystyle{ 111...1=K+K \cdot 10^k+K \cdot 10^{2k}+K \cdot 10^{3k}+...+K \cdot 10^{(a-1)k}\)

[BettyBoo]

No tak, ale jeśli weźmiesz na przykład \(\displaystyle{ p=11,\ n=2,\ a_1=1,\ a_2=2,\ b_1=3,\ b_2=5}\), to nie otrzymasz tego warunku o który chodzi w zadaniu.

Więc pytam jeszcze raz: jaka jest pełna treść zadania??




\(\displaystyle{ \underbrace{111...1}_{\mathrm{k\ razy}}=1+10+10^2+\cdots +10^k=\frac{1-10^k}{1-10}=\frac{1}{9}(10^k-1)}}\)

A dalej z tego proste wnioski.

Pozdrawiam.

[Wendigo]

Treść pierwszego podałem taką jaką dostałem, więc może złą dostałem

co do drugiego:
bo do tej pory chyba źle zinterpretowałem treść, mamy pokazać, ze dla każdego n względnie pierwszego z 10 znajdziemy takie k, że n|111...1?

Jakoś nie mogę zauważyć tych prostych wniosków

[BettyBoo]

Dowiedz się w takim razie jak naprawdę wygląda zadanie 1

Co do 2: dobrze zinterpretowałeś treść.

No to kolejna podpowiedź: Rozpatrz osobno przypadki \(\displaystyle{ 3|n}\), a pozostałe wynikają z tego zapisu, który jest wyżej i z Twierdzenia Eulera.

Pozdrawiam.

[Piotr Rutkowski]

To wygląda na relatywnie długie, a po co tak się męczyć?
Niech \(\displaystyle{ a_{k}=\underbrace{11.1}_{k}}\) dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}}\)
Załóżmy wbrew tezie, że \(\displaystyle{ \forall_{k\in \mathbb{N}} \ n\not |a_{k}}\)
Ciąg reszt \(\displaystyle{ mod n}\) naszego ciągu jest nieskończony, a przyjmuje on tylko skończenie wiele (dokładnie najwyżej \(\displaystyle{ n}\)) wartości. Zatem istnieją takie dwie liczby, dla których reszty \(\displaystyle{ mod n}\) są równe, nazwijmy je \(\displaystyle{ a_{c},a_{d} \ \ c>d}\)
Wtedy zachodzi \(\displaystyle{ n|a_{c}-a_{d}=10^{d}\cdot a_{c-d}}\)
ale skoro \(\displaystyle{ (n,10)=1}\), to \(\displaystyle{ n|a_{c-d}}\)
Sprzeczność z założeniem daje tezę \(\displaystyle{ \mathbb{Q.E.D.}}\)
Pozdrawiam