Twierdzenie Eulera.

[niuka_25]

Moje zadanie polega na wyznaczeniu reszty z dzielenia liczby:
a) \(\displaystyle{ 208^{208}}\) przez 23
b) \(\displaystyle{ 18^{2815}}\) przez 14
Podpunkt a rozpisałam w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \phi(23)=22}\)
\(\displaystyle{ 208^{208}=208^{22 \cdot 9+10}=(208^{22})^{9} \cdot 208^{10}\equiv1^{9} \cdot 208^{10}(mod23)}\). Korzystając z tego, że 208 w \(\displaystyle{ Z_{23}}\) to 1, otrzymałam:
\(\displaystyle{ 208^{208}\equiv1^{10}(mod23)}\). Tak więc reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 208^{208}}\) przez 23 wynosi 1.
Dobry tok rozumowania przedstawiłam?
Z podpunktem b mam natomiast problem:( Jak należałoby go rozpisać?

[Dumel]

pierwsze dobrze a w drugim rozbij 18 na 9*2, dziewiątke załatw tak jak pierwszy przykład a aby poradzić sobie z dwójką zapewne przyda się \(\displaystyle{ 2^{k+3} \equiv 2^k \ (mod \ 14)}\)

[niuka_25]

Aha oki pierwszą część rozpisałam i wyszło cos takiego:
\(\displaystyle{ 9^{2815}\equiv1(mod14)}\). Nie wiem jednak co z ta dwójką zrobić?:(

[Dumel]

\(\displaystyle{ 2815 \equiv 1 \ (mod \ 3)}\)
więc
\(\displaystyle{ 2^{2815}\equiv 2^1 \ (mod \ 14)}\)
aby otrzymać okresowość co 3 trzeba ręcznie rozpisać:
\(\displaystyle{ 2^1 \equiv 2 \ (mod \ 14)}\)
\(\displaystyle{ 2^2 \equiv 4 \ (mod \ 14)}\)
\(\displaystyle{ 2^3 \equiv 8 \ (mod \ 14)}\)
\(\displaystyle{ 2^4 \equiv 2 \ (mod \ 14)}\)