Rozwiązać w całkowitych, KMDO.

[Wendigo]

Rozwiązać w całkowitych równanie:
\(\displaystyle{ \frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}=3}\)
\(\displaystyle{ x \le y \le z}\)
dla \(\displaystyle{ x \ge 2}\) \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ z}\) też są większe lub równe 2, zatem:
\(\displaystyle{ \frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} \ge 3 \sqrt[3]{xyz} \ge 6>3}\) sprzeczność.

dla x=1 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{y}{z}+yz+ \frac{z}{y}=3}\)
teraz dla y=1 otrzymujemy z=1 i dostajemy trójkę: (1,1,1).
dla \(\displaystyle{ y \ge 2}\), \(\displaystyle{ z \ge 2}\) bo \(\displaystyle{ y \le z}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{z}+yz+ \frac{z}{y} \ge 4+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{y}>3}\)
sprzeczność.
dla y=-1 otrzymujemy z=-1, czyli tójkę: (1,-1,-1)

teraz jeśli \(\displaystyle{ y \le -2}\) i \(\displaystyle{ z \le -2}\) to \(\displaystyle{ yz \ge 4}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{y}{z}}\)
i \(\displaystyle{ \frac{z}{y}}\) są dodatnie czyli sprzeczność.
dla \(\displaystyle{ y \le -2}\) i \(\displaystyle{ z=-1}\) nie ma rozwiązań.

Nie wiem jak pokazać, że dla \(\displaystyle{ y \le -2}\) i z dodatniego nie ma rozwiązań.
Wtedy pozostaje jeszcze rozpatrzyć gdy x=-1, i dla x mniejszych od -1.

Dobrze kombinuję? (jeśli tak to poproszę o wskazówki jak dokończyć zadanie) Czy może za bardzo się zamotałem z tymi przypadkami?
Może ktoś ma pomysł na szybsze i prostsze rozwiązanie?

[Piotr Rutkowski]

Zakładam, że dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) już rozwiązałeś[/latex]
Co się dzieje jeśli tylko 1 liczba jest ujemna? Wtedy lewa strona jest ujemna i, jako taka, nie może być równa 3. Analogicznie gdy wszystkie są ujemne. Zatem pozostaje przypadek gdzie \(\displaystyle{ (z>0)\wedge (x,y<0)}\)
Biorąc \(\displaystyle{ a=-x \ b=-y}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ab}{z}+\frac{az}{b}+\frac{bz}{a}=3}\) dla dodatnich \(\displaystyle{ a,b,z}\), a ten przypadek już rozważałeś
Pozdrawiam