Wyrażenia algebraiczne - poziom rozszerzony

[bartoszcee]

Witam mam oto takie zadania:

Zad.1.
Uzasadnij, że dla wszystkich liczb całkowitych n liczba
\(\displaystyle{ M=(n-2)(n-1)n(n+1)+1}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

Zad.2.
Oblicz \(\displaystyle{ x^{2} + \frac{1}{ x^{2} }}\)
wiedząc, że \(\displaystyle{ x^{3} + \frac{1}{ x^{3} } = 110}\)

Zad.3.
Wyznacz pierwiastki wielomianu:\(\displaystyle{ W(x)=2x^{3} - 5 x^{2} - x + 1}\)

Zad.4.
Wyznacz wszystkie całkowite wartości współczynnika a tak, aby pierwiastkiem równania
\(\displaystyle{ x^{3} + ax^{2} - 75 = 0}\)
była liczba pierwsza.

Zad.5.
Uzasadnij, że liczby a,b i c, różne od zera, tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny, to:
\(\displaystyle{ a^{2} b^{2} c^{2}\left( \frac{1}{ a^{3} } + \frac{1}{ b^{3} } + \frac{1}{ c^{3} } \right) = a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Zad.6.
Wykaż, że jeżeli a i b są dodatnie, to:
\(\displaystyle{ a + b \le \frac{a}{ b^{2} } + \frac{b}{ a^{2} }}\)

P.S.
To jest moje pierwsze użycie LaTeX'a, więc przepraszam z góry za błedy

[tometomek91]

2.
To pomoże:
\(\displaystyle{ x^{2} + \frac{1}{ x^{2} }=(x+\frac{1}{x})^2-2}\)
i
\(\displaystyle{ x^{3} + \frac{1}{ x^{3} }=(x+\frac{1}{x})^3-3(x+\frac{1}{x})}\)

3.
\(\displaystyle{ W(x)=2x^{3} - 5 x^{2} - x + 1}\)
Nie ma pierwiastków wymiernych, skorzystaj ze wzorów Cardano.

[bartoszcee]

Dzięki tometomek91. A jeszcze jakbyś mi powiedział skąd się to bierze w 2 zadaniu;)
To znaczy z kwadratem to rozumiem przekształcenie, ale z sześcianem nie bardzo...

[tometomek91]

3.
\(\displaystyle{ W(x)=2x^{3} - 5 x^{2} - x + 1}\)
Nie ma pierwiastków wymiernych, skorzystaj ze wzorów Cardano.

Sorki, ma pierwiastki wymierne, owszem ze wzorów Cardano możesz skorzystać, ale tak łatwiej:
\(\displaystyle{ W(x)=2x^{3} - 5 x^{2} - x + 1=2x^{2}(x+\frac{1}{2})-6x(x+\frac{1}{2})+2(x+\frac{1}{2})=(x+\frac{1}{2})(2x^{2}-6x+2)=2(x+\frac{1}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})}\)
Sory, źle spojrzałem...

[xanowron]

\(\displaystyle{ x^{3} + \frac{1}{ x^{3} }=(x+\frac{1}{x})^3-3(x+\frac{1}{x})}\)

Bierze się to ze wzoru \(\displaystyle{ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a^3+b^3)+3(a^2b+ab^2)}\)

5.
Jeżeli tworzą ciąg geometryczny to można zapisać \(\displaystyle{ a=a_{1} \ \ b=a_1q \ \ c=a_{1}q^2}\) i po podstawieniu do lewej/prawej strony równania, na mocy działań na potęgach dochodzisz do prawej/lewej strony.

[bartoszcee]

Tak przypuszczałem Dzięki

[tometomek91]

To bierze się ze wzoru \(\displaystyle{ (a+b)^3=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}\).
Niech \(\displaystyle{ a=x+\frac{1}{x}; x \neq 0}\).
\(\displaystyle{ x^{3} + \frac{1}{ x^{3} }=(x+\frac{1}{x})^3-3(x+\frac{1}{x})=110\\
a^{3}-3a-110=0\\
(a-5)(a^{2}+5a+22)=0 \Rightarrow a=5}\)
Wiemy, że a=5 i:
\(\displaystyle{ x^{2} + \frac{1}{ x^{2} }=(x+\frac{1}{x})^2-2=a^{2}-2\\
a^{2}-2=23}\)

[xanowron]

1.

\(\displaystyle{ (n-2)(n-1)n(n+1)+1}\) po wymnożeniu i uporządkowaniu daje \(\displaystyle{ n^4-2n^3-n^2+2n+1=(n^2-n-1)^2}\)

[tometomek91]

Zad. 4
\(\displaystyle{ x^{3} + ax^{2} - 75 = 0}\)
Pierwiastkami tego równaniau mogą być dzielniki liczby 75, czyli: [1, 3, ..., 75]. Pierwiastek ma być liczbą pierwszą, więc wybieramy z tego zbioru tylko liczby pierwsze: [3, 5].
Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3} + ax^{2} - 75}\) musi być podzielny przez jednomiany: (x-3) i (x-5):

\(\displaystyle{ W(x)=x^{3} + ax^{2} - 75=x^{2}(x-3)+3x(x-3)+(6+a)(x-3)+18+a}\)
Reszta musi być równa zero:
\(\displaystyle{ a=-18}\).

Podobnie postępujemy z piątką.

Zad. 5
(a,b,c) - ciąg geometryczny
\(\displaystyle{ b=\sqrt{ac}}\)

\(\displaystyle{ a^{2} b^{2} c^{2}\left( \frac{1}{ a^{3} } + \frac{1}{ b^{3} } + \frac{1}{ c^{3} } \right) = a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ a^{2}\cdot ac \cdot c^{2}\left( \frac{1}{ a^{3} } + \frac{1}{ (\sqrt{ac})^{3} } + \frac{1}{ c^{3} } \right) = a^{3} + (\sqrt{ac})^{3} + c^{3}\\
a^{3}c^{3}\left( \frac{1}{ a^{3} } + \frac{1}{ (\sqrt{ac})^{3} } + \frac{1}{ c^{3} } \right) = a^{3} + (\sqrt{ac})^{3} + c^{3}\\
c^{3}+(\frac{ac}{\sqrt{ac}})^{3}+a^{3}=a^{3}+(\sqrt{ac})^{3}+c^{3}\\
L=P}\)

[smigol]

tometomek91, mało ścisły ten Twój dowód w 5. Na samym początku zakładasz, że coś jest prawdziwe, jeśli tak to powinieneś zapisać ten dowód od końca, wtedy nikt się nie może doczepić,b o przekształcenia są równoważne (chociaż dogłębnie nie sprawdzałem)
Poza tym powinno (a przynajmniej tak jest ładniej) się wychodzić od jednej strony dochodząc (po przekształceniach, korzystając z założeń, praw i twierdzeń) do drugiej.

[MaciekLeo]

1.

\(\displaystyle{ (n-2)(n-1)n(n+1)+1}\) po wymnożeniu i uporządkowaniu daje \(\displaystyle{ n^4-2n^3-n^2+2n+1=(n^2-n-1)^2}\)

jak przekształcić drugie wyrażenie od końca na ostatnie?

[kibix]

Czy w 4 zadaniu nie można podstawiać pod x liczby pierwsze i przyrównać to do zera?

[tometomek91]

kibix, można.