Dzielenie z resztą

[Minnie_]

Znajdź resztę
A) \(\displaystyle{ 19 ^{71}}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 12}\)
B) \(\displaystyle{ 95 ^{351}}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 14}\)
C) \(\displaystyle{ 54 ^{59}}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 17}\)
Proszę o rozwiązanie z prostym wytłumaczeniem

[Piotr Rutkowski]

a)\(\displaystyle{ 19^{71}\eequiv 7^{71}=7\cdot 49^{35}\equiv 7\cdot 1^{35}=1 \ (mod12)}\)
b)\(\displaystyle{ 95^{351}\equiv (-3)^{351}=(-27)^{117}\equiv 1^{117}=1 \ (mod14)}\)
c)\(\displaystyle{ 54^{59}\equiv 3^{59}=27\cdot 81^{14}\equiv 27\cdot (-4)^{14}=27\cdot 16^{7}\equiv 27\cdot (-1)^{7}=-27\equiv 7 \ (mod 17)}\)
Pozdrawiam

[Minnie_]

Dzięki za rozwiązanie a czy mógłbyś mi w jakiś prosty sposób wyjaśnić skąd to się bierze?

[Piotr Rutkowski]

Tam gdzie Ci się "magicznie zamieniają" () liczby korzystam z tego, że wielokrotności wartości modułu nie mają różnicy np.:
\(\displaystyle{ 19\equiv 19-12 =7 \ (mod 12)}\) albo
\(\displaystyle{ 95\equiv 95-7\cdot 14 =-3 \ (mod 14)}\) itd.
Pozdrawiam