Warunkiem koniecznym dostatecznym na to aby, ułamek \(\displaystyle{ 1/k}\) miał skończone rozwinięcie dziesiętne jest aby jedynymi dzielnikami pierwszymi liczby \(\displaystyle{ k}\) były \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 5}\) bądź obie jednocześnie.
Rozwinięcie dziesiętne ułamka 1/k
-
patryk007
- Użytkownik
- Posty: 427
- Rejestracja: 1 kwie 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozwinięcie dziesiętne ułamka 1/k
Dowieść, że:
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Rozwinięcie dziesiętne ułamka 1/k
Dla ustalenia uwagi niech \(\displaystyle{ k>0}\) (w szczególności też \(\displaystyle{ k>1}\))
Najpierw udowodnimy, że jeśli \(\displaystyle{ k=\frac{1}{2^{a}5^{b}} \ a,b\in \mathbb{N}}\), to [tex[frac{1}{k}[/latex] ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Dowód:
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}=\frac{1}{2^{a}5^{b}}=\frac{2^{b}5^{a}}{10^{a+b}}}\)
Skoro liczba \(\displaystyle{ 2^{b}5^{a}}\) jest naturalna i skończona, a \(\displaystyle{ \frac{1}{10^{a+b}}}\) przesuwa nam liczbę w zapisie dziesiętnym o \(\displaystyle{ a+b}\) miejsc, to \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\) ma zapis skończony w systemie dziesiętnym. \(\displaystyle{ Q.E.D.}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ k=2^{a}5^{b}l \ a,b,l\in \mtahbb{N} \ \ 2\not|l \ 5\not|l}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\) ma rozwinięcie dziesiętne skończone. Wtedy też \(\displaystyle{ 2^{a}5^{b}\cdot \frac{1}{k}=\frac{1}{l}}\) również ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Skoro \(\displaystyle{ l>1}\), to \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{l}<1}\), zatem istnieje taki nieskończony ciąg cyfr \(\displaystyle{ \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{l}=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}10^{-i}}\) oraz \(\displaystyle{ \exists_{N\in \mathbb{N}} \ \forall_{n>N} \ a_{n}=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{l}=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}10^{-i}=\sum_{i=1}^{N}a_{i}10^{-i}}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{10^{N}}{l}=\sum_{i=1}^{N}a_{i}10^{N-i}}\),
ale prawa strona jest naturalna, więc musi zachodzić \(\displaystyle{ l|10^{N}}\), co daje nam sprzeczność z założeniem \(\displaystyle{ Q.E.D.}\)
Pozdrawiam
Najpierw udowodnimy, że jeśli \(\displaystyle{ k=\frac{1}{2^{a}5^{b}} \ a,b\in \mathbb{N}}\), to [tex[frac{1}{k}[/latex] ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Dowód:
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}=\frac{1}{2^{a}5^{b}}=\frac{2^{b}5^{a}}{10^{a+b}}}\)
Skoro liczba \(\displaystyle{ 2^{b}5^{a}}\) jest naturalna i skończona, a \(\displaystyle{ \frac{1}{10^{a+b}}}\) przesuwa nam liczbę w zapisie dziesiętnym o \(\displaystyle{ a+b}\) miejsc, to \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\) ma zapis skończony w systemie dziesiętnym. \(\displaystyle{ Q.E.D.}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ k=2^{a}5^{b}l \ a,b,l\in \mtahbb{N} \ \ 2\not|l \ 5\not|l}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\) ma rozwinięcie dziesiętne skończone. Wtedy też \(\displaystyle{ 2^{a}5^{b}\cdot \frac{1}{k}=\frac{1}{l}}\) również ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Skoro \(\displaystyle{ l>1}\), to \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{l}<1}\), zatem istnieje taki nieskończony ciąg cyfr \(\displaystyle{ \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{l}=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}10^{-i}}\) oraz \(\displaystyle{ \exists_{N\in \mathbb{N}} \ \forall_{n>N} \ a_{n}=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{l}=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}10^{-i}=\sum_{i=1}^{N}a_{i}10^{-i}}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{10^{N}}{l}=\sum_{i=1}^{N}a_{i}10^{N-i}}\),
ale prawa strona jest naturalna, więc musi zachodzić \(\displaystyle{ l|10^{N}}\), co daje nam sprzeczność z założeniem \(\displaystyle{ Q.E.D.}\)
Pozdrawiam