Równanie diofantyczne- suma 3 wyrazów równa ich iloczynowi

[Paulina-Anna]

Czy mógłby mi ktoś podpowiedzieć, jak mam się zabrać do rozwiązywania równania:

\(\displaystyle{ x +y +z =xyz}\)

\(\displaystyle{ x,y,z \in C}\) ?

[Piotr Rutkowski]

Jeśli \(\displaystyle{ z=0}\) skąd \(\displaystyle{ x=-y}\) dające rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ \{x,y,z\}=(k,-k,0)}\) (dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\)) i wszystkie permutacje
Niech \(\displaystyle{ x\geq y \geq z}\)
Jeśli \(\displaystyle{ z > 0}\), to mamy następujące przypadki:
\(\displaystyle{ z=1}\), wtedy \(\displaystyle{ (x-1)(y-1)=2}\) i mamy rozwiązanie \(\displaystyle{ \{x,y,z\}=\{3,2,1\}}\) (i wszystkie permutacje)
Jeśli natomiast \(\displaystyle{ z>1}\), to \(\displaystyle{ xyz=x\cdot (yz)>3x\geq x+y+z}\), zatem brak rozwiązań.
Zatem weźmy \(\displaystyle{ (z<0)\wedge (y> 0)}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ z_{1}=-z}\) mamy:
\(\displaystyle{ x+y+xyz_{1}=z_{1}}\), ale \(\displaystyle{ x+y+xyz_{1}>xyz_{1}\geq z_{1}}\), zatem brak rozwiązań
Jeśli \(\displaystyle{ (x>0)\wedge (y<0)}\) podstawiajac \(\displaystyle{ y_{1}=-y \ z_{1]=-z}\) mamy
\(\displaystyle{ xy_{1}z_{1}+y_{1}+z_{1}=x}\), ale \(\displaystyle{ xy_{1}z_{1}+y_{1}+z_{1}>xy_{1}z_{1}
\geq x}\) i znów brak rozwiązań
Jeśli w końcu \(\displaystyle{ x<0}\), to dokonując podstawienia \(\displaystyle{ x_{1}=-x}\) itd. wracamy do przypadku dla dodatnich otrzymując rozwiązania \(\displaystyle{ \{x,y,z\}=(-1,-2,-3)}\) wraz z permutacjami.
Pozdrawiam

[Paulina-Anna]

Dziękuję