Witam.
Niech \(\displaystyle{ a_1 , \ a_2 , \ldots , \ a_{10} \in \mathbb{Z}_{+}}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{10} a_i = 10^{10}}\)
Wyznaczyć największą wartość \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{10} a_i}\)
Enjoy
Stały iloczyn, największa suma
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Stały iloczyn, największa suma
\(\displaystyle{ 10^{10}+9}\), to że nie będzie więcej wynika z tego, że \(\displaystyle{ a_i}\) to dzielniki \(\displaystyle{ 10^{10}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Stały iloczyn, największa suma
Wynika to bezpośrednio, czy pośrednio?
Być może czegoś nie zauważam, ale jak dla mnie ta implikacja wymaga dowodu lub choćby krótkiego usprawiedliwienia
Być może czegoś nie zauważam, ale jak dla mnie ta implikacja wymaga dowodu lub choćby krótkiego usprawiedliwienia
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Stały iloczyn, największa suma
Niestety nie widzę tego. Czy mógłbyś napisać, jakie przypadki masz na myśli?
Osobiście próbowałem w ten sposób (zał. że \(\displaystyle{ a_1 \ge \ldots \ \ge a_{10}}\)):
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \ a_1=2^k \cdot 5^{10} , \ k \le 9 \\ 2^{\circ} \ a_1=2^{10} \cdot 5^{k} , \ k \le 9 \\ 3^{\circ} \ a_1=2^m \cdot 5^{n} , \ m,n \le 9}\)
lecz w każdym przypadku pojawia się wyznaczenie wartości największej sumy \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{10} a_i}\), co sprowadza się do problemu wyjściowego.
Osobiście próbowałem w ten sposób (zał. że \(\displaystyle{ a_1 \ge \ldots \ \ge a_{10}}\)):
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \ a_1=2^k \cdot 5^{10} , \ k \le 9 \\ 2^{\circ} \ a_1=2^{10} \cdot 5^{k} , \ k \le 9 \\ 3^{\circ} \ a_1=2^m \cdot 5^{n} , \ m,n \le 9}\)
lecz w każdym przypadku pojawia się wyznaczenie wartości największej sumy \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{10} a_i}\), co sprowadza się do problemu wyjściowego.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Stały iloczyn, największa suma
jesli \(\displaystyle{ a_1 \le 10^9}\) to mamy łatwo \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_i \le 10^{10}}\)
pozostaje rozpatrzeć \(\displaystyle{ a_1>10^9}\) a tego wiele nie ma
pozostaje rozpatrzeć \(\displaystyle{ a_1>10^9}\) a tego wiele nie ma