Stały iloczyn, największa suma

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Stały iloczyn, największa suma

Post autor: patry93 »

Witam.

Niech \(\displaystyle{ a_1 , \ a_2 , \ldots , \ a_{10} \in \mathbb{Z}_{+}}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{10} a_i = 10^{10}}\)
Wyznaczyć największą wartość \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{10} a_i}\)

Enjoy
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Stały iloczyn, największa suma

Post autor: Zordon »

\(\displaystyle{ 10^{10}+9}\), to że nie będzie więcej wynika z tego, że \(\displaystyle{ a_i}\) to dzielniki \(\displaystyle{ 10^{10}}\)
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Stały iloczyn, największa suma

Post autor: patry93 »

Wynika to bezpośrednio, czy pośrednio?
Być może czegoś nie zauważam, ale jak dla mnie ta implikacja wymaga dowodu lub choćby krótkiego usprawiedliwienia
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Stały iloczyn, największa suma

Post autor: Zordon »

pośrednio, ale wystarczy rozważyć największą spośród liczb \(\displaystyle{ a_i}\) i będzie kilka banalnych przypadków
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Stały iloczyn, największa suma

Post autor: patry93 »

Niestety nie widzę tego. Czy mógłbyś napisać, jakie przypadki masz na myśli?
Osobiście próbowałem w ten sposób (zał. że \(\displaystyle{ a_1 \ge \ldots \ \ge a_{10}}\)):
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \ a_1=2^k \cdot 5^{10} , \ k \le 9 \\ 2^{\circ} \ a_1=2^{10} \cdot 5^{k} , \ k \le 9 \\ 3^{\circ} \ a_1=2^m \cdot 5^{n} , \ m,n \le 9}\)
lecz w każdym przypadku pojawia się wyznaczenie wartości największej sumy \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{10} a_i}\), co sprowadza się do problemu wyjściowego.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Stały iloczyn, największa suma

Post autor: Zordon »

jesli \(\displaystyle{ a_1 \le 10^9}\) to mamy łatwo \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_i \le 10^{10}}\)
pozostaje rozpatrzeć \(\displaystyle{ a_1>10^9}\) a tego wiele nie ma
ODPOWIEDZ