średnia harmoniczna

[111sadysta]

Niech \(\displaystyle{ n \in N \backslash \{ 1 \}}\) będzie daną liczbą naturalną. Wykazać, że średnia harmoniczna liczb \(\displaystyle{ x_1, x_2,...,x_n in [0, infty )}\)
tj. liczba
\(\displaystyle{ H(x_1, x_2,...,x_n):= \frac{n}{ \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}+...+ \frac{1}{x_n}}}\)
nie przekracza średniej arytmetycznej tych liczb.

P.S. Jeśli to nie ten dział, to z góry przepraszam. Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

[Crizz]

Jeśli znasz dowód nierówności Cauchy'ego, to zastosuj ją do liczb \(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}},\frac{1}{x_{2}},...,\frac{1}{x_{n}}}\), otrzymasz zależność średnia geometryczna\(\displaystyle{ \ge}\)średnia harmoniczna, a z Cauchy'ego bezpośrenio średnia arytmetyczna \(\displaystyle{ \ge}\) średnia geometryczna.
Elementarny dowód nierówności Cauchy'ego mogę zamieścić, zresztą jest pewnie gdzieś w internecie.

ALBO

Zastosuj nierówność Czebyszewa do ciągów \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},...,x_{n})}\) oraz \(\displaystyle{ (-\frac{1}{x_{1}},-\frac{1}{x_{2}},...-\frac{1}{x_{n}})}\).

[111sadysta]

proszę o zamieszczenie

[Piotr Rutkowski]

Nierówność między średnią arytmetyczną, a harmoniczną jest bardzo słaba, dlatego łatwo poddaje się nawet indukcji (co stanowi najbardziej elementarne rozwiązanie).
Dla uproszczenia zapisu rozważmy \(\displaystyle{ X_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i} \ Y_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}}\) dla pewnego nieskończonego ciągu liczb dodatnich \(\displaystyle{ \{a_{n}\}_{n=0}^{\infty}}\)
Nasza nierówność jest równoważna:
\(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}} \ X_{n}Y_{n}\geq n^{2}}\)
Udowodnijmy najpierw lemat:
\(\displaystyle{ (x+y\geq 2\sqrt{xy})\iff ((\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geq 0) \ \ \ \ (**)}\)
Teraz okażemy tezę metodą indukcji matematycznej:
Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ n=1}\), jest ok
Założenie \(\displaystyle{ X_{n}Y_{n}\geq n^{2} \ \ \ (*)}\)
Dowód tezy:
\(\displaystyle{ X_{n+1}Y_{n+1}=(X_{n}+a_{n+1})(Y_{n}+\frac{1}{a_{n+1}})=(X_{n}Y_{n}+1)+(a_{n+1}Y_{n}+\frac{1}{a_{n+1}}X_{n})\geq (*)+(**)\geq (n^{2}+1)+(2\sqrt{a_{n+1}Y_{n}\frac{1}{a_{n+1}}X_{n}}) \geq (*)\geq (n^{2}+1)+2\sqrt{n^{2}}=(n+1)^{2} \ \ \mathbb{Q.E.D.}}\)
Pozdrawiam

[Crizz]

Co do dowodu nierówności Cauchy'ego:

Udowodnimy najpierw, że iloczyn n liczb nieujemnych o sumie n jest nie większy niż jeden.

Dowód (metodą indukcji względem n):
1.) Początek indukcji: dla \(\displaystyle{ n=1}\) twierdzenie jest oczywiste, dla \(\displaystyle{ n=2}\) i dowolnego ciągu liczb nieujemnych \(\displaystyle{ (a_{1},a_{2})}\), \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}=2}\), mamy \(\displaystyle{ a_{1}a_{2}=a_{1}(2-a_{1})=-(a_{1}-1)^{2}+1 \le 1}\)
2.) Założenie indukcyjne: dla dowolnych liczb nieujemnych \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}}\), takich, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}=n}\), zachodzi \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}a_{i} \le 1}\)
3.) Teza indukcyjna: dla dowolnych liczb nieujemnych \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1}}\), takich, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}a_{i}=n+1}\), zachodzi \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n+1}a_{i} \le 1}\)
4.) Dowód:
Wśród liczb \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1}}\) istnieje takie \(\displaystyle{ a_{i}}\), że \(\displaystyle{ a_{i} \le 1}\) (w przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}a_{i}>n+1}\)) oraz istnieje takie \(\displaystyle{ a_{j}}\), że \(\displaystyle{ a_{j} \ge 1}\) ( w przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}a_{i}<n+1}\)). Dla ustalenia uwagi przyjmiemy, że \(\displaystyle{ a_{n} \le 1,a_{n+1} \ge 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ (a_{n}-1)(a_{n+1}-1) \le 0}\), czyli \(\displaystyle{ a_{n}a_{n+1} \le a_{n}+a_{n+1}-1}\).
Stosując założenie indukcyjne do liczb \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}+a_{n+1}-1}\), otrzymujemy zależność \(\displaystyle{ a_{1}a_{2} \cdot ... \cdot a_{n-1}(a_{n}+a_{n+1}-1) \le 1}\). Tym bardziej zatem \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n+1}a_{i} \le 1}\), co kończy dowód kroku indukcyjnego.

Aby udowodnić nierówność Cauchy'ego dla dowolnych liczb nieujemnych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n}}\), zastosuj powyższe twierdzenie do liczb \(\displaystyle{ \frac{na_{i}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}},i=1,2,...,n}\).


Otrzymujesz kolejno zależności:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n}\frac{na_{n}}{ \sum_{j=1}^{n}a_{j}} \le 1}\)

\(\displaystyle{ n^{n} \cdot \frac{ \prod_{k=1}^{n}a_{k} }{\left( \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right)^{n}} \le 1}\)

\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right)^{n} \ge n^{n} \cdot \prod_{k=1}^{n}a_{k}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k} \ge \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}a_{k}}}\), co należało udowodnić

[Piotr Rutkowski]

No tak, tylko po co się męczyć kiedy proszą nas o znacznie słabszą nierówność?

[111sadysta]

Piotr Rutkowski, Twoje rowiązanie jest pełne?

[Piotr Rutkowski]

Piotr Rutkowski, Twoje rowiązanie jest pełne?

A czego w nim brakuje?