Równanie

[Aramil]

Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych(n,m) spełniajace równanie:

\(\displaystyle{ 2^{n}+1=m^{2}}\)

i ja to sobie rospisałem do postaci \(\displaystyle{ 2^{n}=(m+1)(m-1)}\)

problem jest w tym co robic dalej

[guzik15]

Rozpisz to sobie w taki sposób:
\(\displaystyle{ 2^{n}=m^{2}-1}\)
Z tego ładnie widać że dla wszytskich liczb naturalnych, z wyjątkiem 0, lewa strona jest parzysta, dlatego też \(\displaystyle{ m^{2}}\) musi być nieparzyste.
Co więcej zauważmy że dla obojętnie jakiej zmiennej n cyfra jedności lewej strony musi być 2, 4, 8, 6. Co daje nam że \(\displaystyle{ m^{2}}\) musi mieć cyfre jedności 3, 5, 9, 7. a więc m jako cyfre jedności może mieć 3, 5, 7. Dalej za bardzo nie mam pomysłu... Ale metodą podstawiania można zauważyć że spełnia to n=m=3

[Rogal]

Do dobrej postaci rozpisałeś, trzeba z tego tylko odpowiednie wnioski wyciągnąć.
Po lewej masz iloczyn samych dwójek, więc i po prawej nic innego nie może się pojawić (za wyjątkiem może jedynki). Teraz właśnie idąc od najmniejszej możliwej, czyli gdy m-1=1, wtedy m+1 musiałoby być równe albo 1 (co niemożliwe), albo 2 (co również jest niemożliwe). Spróbujmy więc z kolejną potęgą dwójki, czyli m-1=2, wtedy m+1 musi być 4, co się zgadza (a co podał guzik). Natomiast teraz trzeba wyciągnąć ogólną konkluzję, że nie ma już żadnych innych potęg dwójki, różnica których wynosiłaby 2. Co byłoby na tyle ; )

[półpasiec]

m jest nieparzyste
\(\displaystyle{ m-1=2^k \\m+1=2^l \\m=2^{k-1}+2^{l-1}}\)
czyli k=1

[gaga]

trzy pierwsze kroki rozwiązania rozumiem,ale wniosku,że k=1,to niebardzo :-/,nie wiem skąd się to wzięło

[guzik15]

Natomiast teraz trzeba wyciągnąć ogólną konkluzję, że nie ma już żadnych innych potęg dwójki, różnica których wynosiłaby 2.

Ja tutaj powypisywałem takie wnioski a wystarczy to... :>

[Tomasz Rużycki]

Gaga, spojrz:

m jest nieparzyste

i sie zastanow.

Teraz rozumiesz?

[gaga]

tak...(ale wstyd ;-( )

[półpasiec]

rozwiaz \(\displaystyle{ 2^n-1=m^2}\) to zapomnimy o tym

[gaga]

ok,zrobione,napisać rozw.na forum??

[ Dodano: 10 Lipiec 2006, 22:35 ]
\(\displaystyle{ m^2+1=2^n\\(m^2-1)+2=2^n\\2^n-2=(m-1)(m+1)\\m-1=2^k-2\\ m+1=2^l}\)stad po wymnozeniu i porownaniu \(\displaystyle{ 2^n-2=2^{l+k}-2^{l+1}}\)mam n=k i l=0 i ostatecznie m^2=m,czyli m=0 lub m=1 oraz n=0lub n=1

[półpasiec]

chyba nie do konca:/

[gaga]

\(\displaystyle{ 2^n=m^2+1\\2^n=(m^2-1)+2\\2^n-2=(m-1)(m+1)\\m+1=2^k\\m-1=2^p-1\\}\)stąd k=1 i n=p+k,więc \(\displaystyle{ n=p+1\\}\)a stąd 2m=m^2+1,czyl m=1 i n=1

[półpasiec]

to wciaz jest zle

[gaga]

to co robię nie tak??A i sorry za tego texa...

[mu]

To ja może od siebie dam taką małą podpowiedź, nie będę psuć całej zabawy: proponuje rozwazyć przypadki \(\displaystyle{ n \{ 0 , 1 \}}\) osobno, a dla \(\displaystyle{ n}\) wyższych zapisać to jako \(\displaystyle{ 4 2^{n-2} = m^2 + 1}\) i zastanowić się, po co tam ta czwórka

Pozdrawiam,
mu