Czy liczba jest różnicą kwadratów ?

[alexandra]

Czy podana liczba jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych
a) 6478436;
b) 2548573;
c) 3654722;
d) 4928354 ? Jak szybko sprawdzić czy podane liczby są różnicą kwadratów ?

[Rogal]

Sprawa jest o tyle prosta, że wystarczy zauważyć prostą rzecz - różnica kwadratów to (a-b)(a+b). Jeżeli teraz przyjmiemy, że a-b = 1, wtedy a+b będzie równe naszej liczbie, nazwijmy ją n. Dostajemy wtedy układ równań:
a - b = 1
a + b = n
Rozwiązując go, mamy a = (n+1)/2 i b = (n-1)/2. Ponieważ liczby a i b muszą być całkowite, stąd n musi być nieparzyste.
Natomiast jeśli przyjmiemy a-b = 2, wtedy niech a+b=n i mamy układzik:
a - b = 2
a + b = n
I mamy a = n/2 + 1 i b = n/2 - 1 - wtedy n jest parzyste. Z tego wniosek, że każdą liczbę całkowitą, parzystą i nieparzystą można zapisać w postaci różnicy kwadratów.
Choć czuję, że jakiś wyjątek od tego będzie ; )

[jasny]

Natomiast jeśli przyjmiemy a-b = 2, wtedy niech a+b=n i mamy układzik:
a - b = 2
a + b = n
I mamy a = n/2 + 1 i b = n/2 - 1 - wtedy n jest parzyste.

Ta druga część to nie jest czasem tylko dla liczb podzielnych przez 4? Bo jak np rozpiszesz 6 jako różnicę kwadratów? Wydaje mi sie więc że c) i d) się nie da

[Rogal]

Przemyślę to jeszcze ; )

[ Dodano: Pon Lip 10, 2006 5:31 pm ]
Dobra mam.

(a-b)(a+b) = 2 * n/2 - z tego n musi być parzyste

a - b = 2
a + b = n/2

a = n/4 + 1
b = n/4 - 1
A z tych dwóch parzyste podwójnie ; ), czyli podzielne przez 4 i już znamy odpowiedź na pytanie postawione w zadanie.