Czy liczba jest wymierna ?

[alexandra]

Sprawdź czy wymierna jest liczba, odpowiedź uzasadnij :
a) \(\displaystyle{ \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^{2}}}\) - \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ; b) \(\displaystyle{ \sqrt{(1 -\sqrt{2})^{2}}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\); c) \(\displaystyle{ \sqrt{(2 -\sqrt{3})^{2}}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\); d) \(\displaystyle{ \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^{2}}}\) - \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) ?

[Tristan]

a) \(\displaystyle{ \sqrt{ ( \sqrt{2} -1)^2 } - \sqrt{2}=| \sqrt{2} -1| - \sqrt{2}=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}=-1}\)
Tak samo postępujesz w kolejnych przykładach: jeżeli to co pod modułem jest większe do zera, to po opuszczeniu modułu zostawiasz tak jak jest, a jeśli to co pod modułem jest mniejsze od zera, to zmieniasz znak wyrażenia pod modułem. Dlatego też w przykładzie b mamy:
b) \(\displaystyle{ \sqrt{ (1- \sqrt{2})^2 } + \sqrt{2}=| 1- \sqrt{2}| + \sqrt{2}=-( 1 - \sqrt{2}) + \sqrt{2}=-1+ \sqrt{2} + \sqrt{2}=2 \sqrt{2} -1}\)

[mol_ksiazkowy]

ad c wymierna \(\displaystyle{ x=2}\)
ad d niewymierna \(\displaystyle{ x=2-2\sqrt{3}}\)