Podzielność przy dużych potęgach liczb

Shvia · Post autor: **Shvia** » 6 lip 2006, o 21:03

Jak sprawdzić, czy liczba \(\displaystyle{ 7^{2007} - 2007}\) jest podzielna przez 9?
Pewnym ułatwieniem może tutaj być fakt, że 2007 jest podzielne przez 9.. Ale jeśli mamy przykład podobny do powyższego, ale z liczbą inną, np. \(\displaystyle{ 7^{2005} - 2005}\)?

Interesowałby mnie ogólny przebieg tego typu rozważań - żeby mieć możliwość zastosowania go w innych przykładach ;].

juzef · Post autor: **juzef** » 7 lip 2006, o 15:19

Twierdzenie Eulera potrafi rozwalić zdecydowaną większość takich zadań.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 7 lip 2006, o 15:36

\(\displaystyle{ 7 \equiv -2 \ mod(9)}\),
\(\displaystyle{ 7^{3} \equiv (-2)^{3}=-8 \ \equiv 1 \ mod(9)}\)
\(\displaystyle{ 7^{2004} \equiv 1 \ mod(9)}\)

\(\displaystyle{ 7 \equiv -2 \ mod(9)}\),
tj.
\(\displaystyle{ 7^{2005} \equiv -2 \ mod(9)}\)
\(\displaystyle{ 2005 \equiv -2 \ mod(9)}\)
tj.
\(\displaystyle{ 7^{2005} -2005\equiv 0 \ mod(9)}\)

[ Dodano: 7 Lipiec 2006, 16:39 ]
Tutaj uzywamy kongruencji...ktore mozna dodawac, odejmowac i mnozyc stronami, a takze podnosic do potegi naturalnej....zapis
\(\displaystyle{ a \equiv b \ mod(c)}\) znaczy ze liczba \(\displaystyle{ a-b}\)jest podzielna przez \(\displaystyle{ c}\)