równanie diofantyczne, rozwiąż je

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 6 lip 2006, o 19:27

\(\displaystyle{ y^{2}=x^{3}+(x+4)^{2}}\)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 6 lip 2006, o 19:47

\(\displaystyle{ y^2 -(x+4)^2=x^3}\)
\(\displaystyle{ (y-x-4)(y+x+4)=x^3}\)
Teraz można się trochę pobawić i porobić kilka układów równań, np. \(\displaystyle{ y-x-4=x^2 y+x+4=x}\), i już będą dwie pary liczb spełniające równanie, mianowicie x=0, y=4 oraz x=0 i y=-4.

g · Post autor: g » 6 lip 2006, o 20:51

Tristan pisze:Teraz można się trochę pobawić i porobić kilka układów równań, np. \(\displaystyle{ y-x-4=x^2 \wedge y+x+4=x}\),

zle.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 6 lip 2006, o 20:57

Rozwaz sobie reszty modulo 3.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 6 lip 2006, o 21:05

Tak, teraz widzę, że źle ( ostatnio dość często na forum się mylę... może pora przejść na emeryturę), ale jednak doszedłem przez złe przekształcenia do dobrego wyniku

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 6 lip 2006, o 21:33

spoko, nie ma ludzi nieomylnych.... a to rozumowanie jest nie tyle zreszta złe, co niepełne....a jak
z tymi resztami modulo 3.....?

liu · Post autor: **liu** » 6 lip 2006, o 23:42

Zauwaz, ze:

Jesli 3|x, to (wszystkie przystawania modulo 3) \(\displaystyle{ x^2 \equiv 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x+4)^2 \equiv 1}\), wiec stad \(\displaystyle{ y^2 \equiv 1}\), skad wynika, ze \(\displaystyle{ y \equiv 1}\) lub \(\displaystyle{ y \equiv 2}\). Podobnie dla x nie dzielacego sie przez 3. Zostaje troche przypadkow do rozwazania, powinno sie to dalej pociagnac.