podwojenie liczby trójkątnej

[mol_ksiazkowy]

Nalezy wykazać, ze równanie \(\displaystyle{ 2t_{n=t_{m}}\), ma nieskończenie wiele par rozwiązań w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\) :, gdzie \(\displaystyle{ t_{n}=1+....+n}\)

[juzef]

Sprowadza się do wykazania, że równanie \(\displaystyle{ x^2-2y^2=-1}\), ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych nieparzystych x, y, a to wynika łatwo z rozwiązań równania Pella.

edit: Dokładnie będzie taka rekurencja:

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}m_1=3\\n_1=2\\m_{k+1}=3m_k+4n_k+3\\n_{k+1}=2m_k+3n_k+2\end{array}}\)

Dowód indukcyjny oparty na tożsamości
\(\displaystyle{ (3m+4n+3)(3m+4n+4)-2(2m+3n+2)(2m+3n+3)=m(m+1)-2n(n+1)}\).