Układ kongruencji - wyjaśnienie?

[malynowa]

A więc mam taki układ kongruencji:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 2(mod5) \\ x \equiv 3(mod7)\\x \equiv 4(mod9) \end{cases}}\)
Mam ten układ rozwiązany, jednak nie rozumiem kilku przejść. Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, skąd biorą się te zapisy?

\(\displaystyle{ x=4+9k{/tex]
\(\displaystyle{ 4+9k\equiv 3(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 9k \equiv 3(mod7)-4}\)
\(\displaystyle{ 9k \equiv 6(mod7)}\)-no i niestety w tym miejscu nie wiem już skąd się bierze 6(mod7). Analogicznie linijka niżej.
\(\displaystyle{ 2k \equiv 6(mod7)}\)
\(\displaystyle{ k=3+7i}\)
\(\displaystyle{ x=4+9(3+7i) \Rightarrow x=31+63i}\)

\(\displaystyle{ 31+63i \equiv 2(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 1+3i \equiv 2(mod5)+4}\)
\(\displaystyle{ 3i \equiv 1(mod5)}\)
\(\displaystyle{ i=2+5l}\)

\(\displaystyle{ x=157+315l l \in Z}\)
Mam problem poprostu w tym jednym miejscu.
istnieje szansa, że zakradł się również gdzieś błąd przy szybkim przepisywaniu. Będę wdzięczna za pomoc.}\)

[Piotr Rutkowski]

Z trzeciego równania masz \(\displaystyle{ x=9k+4}\)
Co więcej \(\displaystyle{ 2k+4+7k=9k+4=x\equiv 3 \ (mod 7)}\)
Ale oczywiście \(\displaystyle{ 7k\equiv 0 \ (mod7)}\), zatem
\(\displaystyle{ 7|2k+1=7+2k-6}\)
\(\displaystyle{ 7|2k-6=2(k-3)}\) i stąd oczywiście \(\displaystyle{ (7|k-3)\iff (k=7i+3)}\)
\(\displaystyle{ x=9k+4=9(7i+3)+4=63i+31}\)
Dodatkowo \(\displaystyle{ 5(12i+6)+3i+1=63i+31=x\equiv 2 \ (mod5)}\)
Czyli \(\displaystyle{ 5|3i+1-2=3i-1}\)
z tego łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ 5|10i-3*(3i-1)=i+3}\)
Zatem \(\displaystyle{ i\equiv 2 \ (mod5)}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ x=9k+4=63i+31=63(5l+2)+31=315l+157}\)
Pozdrawiam