Segmenty rozwinięcia dziesiętnego liczby π

[Dasio11]

Czy ten problem ma jakieś łatwe rozwiązanie, bo ja go nie widzę?

Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby \(\displaystyle{ M \in \mathbb{N}}\) istnieje taki segment cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ \pi}\), który składa się z samych dziewiątek i ma długość nie mniejszą od \(\displaystyle{ M}\). Przykładowo, dla \(\displaystyle{ M=2}\) czterdzieste któreś cyfry rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ \pi}\) to: \(\displaystyle{ 3.141\ldots 71693 \red 99 \black 37 \ldots}\) czyli \(\displaystyle{ 2 \ge M}\).

Powodzenia

[magnolia91]

Badano statystykę występowania poszczególnych cyfr w liczbie Pi. I wyszło na to, że każda cyfra występuje z jednakowym prawdopodobieństwem około 10% (wartości mieszczą się w przedziale 9,9 do 10,1%). To samo dotyczy występowania grup podwójnych cyfr, które występują z prawdopodobieństwem rzędu 1%.
Liczba pi jest liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak", nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy. O proszę - jest :
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235
4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859

6 dziewiątek razem. Więcej dziewiątek razem np. 100 jest możliwe tylko mało prawdopodobne.

[Dasio11]

Taki wynik nie jest niespodzianką, ale chodzi o to czy jest na to jakiś dowód. Przecież nie mogli zbadać wszystkich cyfr \(\displaystyle{ \pi}\)
Chociaż, patrząc na "wszystkie" - za bardzo by się ta statystyka nie mogła zmienić (10%) i nadal z dużym prawdopodobieństwem można oczekiwać dowolnie długiego segmentu patrząc na odpowiednio wiele cyfr...

[abc666]

Dasio11, próbuj przy pomocy zasady szufladkowej i z tego że \(\displaystyle{ \pi}\) jest niewymierne (oraz z tego co w niewymierności wynika jeśli chodzi o rozwinięcie).

edit
Chociaż to może być strasznie głupi pomysł :/