czy liczb jest pierwsza

[tomcio1243]

Czy liczba: \(\displaystyle{ 2009 \cdot (1- \frac{1}{2 ^{2} } )(1- \frac{1}{3 ^{3} } )(1- \frac{1}{4 ^{2} } ) ... (1- \frac{1}{2009 ^{2} } )}\) jest pierwsza ?
prosze o rozwiazanie i wytlumaczenie
bardzo dziekuje i pozdrawiam ;]

[exupery]

najpierw zauważ, że \(\displaystyle{ (1- \frac{1}{2^2})(1- \frac{1}{3^2}).....(1- \frac{1}{n^2}) = \frac{n+1}{2n} \\}\)
zatem nasz iloczyn wynosi 501

[TheBill]

\(\displaystyle{ (1- \frac{1}{2^2})(1- \frac{1}{3^2}).....(1- \frac{1}{n^2}) = \frac{n+1}{2n}}\)

Jak wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n}}\) wyprowadza sie z powyższego iloczynu?

[exupery]

\(\displaystyle{ (1- \frac{1}{2^2})(1- \frac{1}{3^2}).....(1- \frac{1}{n^2}) = (\frac{2^2 -1}{2^2})(\frac{3^2-1}{3^2})....(\frac{(k-1)^2 -1}{(k-1)^2})( \frac{k^2-1}{k^2})( \frac{(k+1)^2 -1}{(k+1)^2})...( \frac{n^2-1}{n^2}) = (\frac{(2-1)(2+1)}{2^2})( \frac{(3-1)(3+1)}{3^2}) ... ( \frac{k(k-2)}{(k-1)^2})( \frac{(k-1)(k+1)}{k^2})( \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} ... \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} = \frac{1}{2} * \frac{n+1}{n} = \frac{n+1}{2n}}\)