Każdą l. R można przedstawić jako sumę dwóch Q'?

[Wojtolino]

Witam.
Dziś zetknąłem się z zadaniem: "Udowodnić, że każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb niewymiernych.". Mam pewne rozwiązanie, ale nie wiem, czy nie ma w nim luk.
Otóż rozpatrujemy 2 przypadki:

\(\displaystyle{ 1)}\) niech \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Q}}\)
Należy pokazać, że \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x \in \mathbb{Q}}\bigvee\limits_{p,q\in \mathbb{Q'}} x=p +q}\)
Weźmy \(\displaystyle{ p= \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ q= \frac{a}{b} - \sqrt{2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Z}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ x=p+q= \frac{a}{b} \in \mathbb{Q},}\) więc \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Q}}\), co kończy dowód w tym przypadku.

\(\displaystyle{ 2) x \in \mathbb{Q'}}\)
Należy pokazać, że \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x \in \mathbb{Q'}}\bigvee\limits_{p,q\in \mathbb{Q'}} x=p +q}\)
Weźmy \(\displaystyle{ p= \frac{z}{n},}\) gdzie \(\displaystyle{ z \in \mathbb{Q'}, n=1,2,...}\). Wtedy p dąży do zera, zatem \(\displaystyle{ x=q \in \mathbb{Q'}}\), co kończy dowód.

Główną wątpliwość mam w drugim przypadku.

[exupery]

alternatywna opcja 2 warunku
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{Q'} \\ x = \frac{x}{2} + \frac{x}{2}}\)

[Wojtolino]

Ale moje rozumowanie ok?

[Piotr Rutkowski]

Nie
Nie możesz zamieniać miejscami wyrażenia i jego wartości granicznej...

[exupery]

o ile pierwsze jest wg mnie ok, o tyle ta druga opcja mnie tak do końca nie przekonuje, zapisałeś:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{i \in \mathbb{N}} \ \bigwedge_{ x,p,a_i \in \mathbb{Q'} } x= (a_n) +p , \ gdzie \ \lim_{n \to \infty } a_n = 0}\) tak to mam rozumieć?
Jeżeli tak, to wg mnie jest źle

[Wojtolino]

Tak, o to mi chodziło.
jeśli \(\displaystyle{ x=a _{n} +p}\), stosujemy przejście graniczne
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }x= \lim_{n \to \infty }a _{n}+ \lim_{ n\to \infty }p}\), czyli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }x = \lim_{ n\to \infty } p}\), więc x=p.

[exupery]

czyli ogólnie zapisałeś x jako 0+p

[Wojtolino]

W sumie tak to wygląda, ale q i tak przebiega Q', więc biorąc odpowiednio małe liczby p jesteśmy w stanie uzyskać każdą liczbę, prawda?

[exupery]

a to możesz np zapisać \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) za pomocą swojej metody?

[Wojtolino]

No chociażby \(\displaystyle{ p= \sqrt{2} - \frac{ \sqrt{3}}{10! ^{10!} }}\) , \(\displaystyle{ q= \frac{ \sqrt{3}}{10! ^{10!}}}\)
i przy wzięciu \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{\sqrt{3}}{n \cdot 10! ^{10!} }}\) zachodzi to, o co mi chodzi. Potem bierzemy kolejne Q'.

[exupery]

no ale wg Twojej metody x=p, a tutaj tak nie mamy x>p, ten zapis bardziej pasuje do opcji
\(\displaystyle{ x=p+q, \ gdzie \ p=x-q}\)

[Wojtolino]

No fakt, z tym x=p nie za szczęśliwie to ująłem, ale w sumie mniej więcej o to mi chodziło. Rozumiem Twój tok myślenia, tylko nie wiem, gdzie w takim razie jest luka w moim?

[exupery]

chyba wszystko zawarte jest w tym

Nie
Nie możesz zamieniać miejscami wyrażenia i jego wartości granicznej...

Bo Ty wprowadziłeś np. wyrażenia postaci
\(\displaystyle{ q=\frac{a}{n} , \ gdzie \ n \rightarrow \infty \wedge a \in \mathbb{Q'}}\)
ale wprowadziłeś parametr n do swojego zapisu

[Wojtolino]

A, ok, czaję. Dzięki