Niech n będzie liczbą naturalną. Wykaż, że liczby \(\displaystyle{ 12^n}\) i \(\displaystyle{ 12^n + 2^n}\) mają taką samą liczbę cyfr.
Wiadomo że jeśli liczba n ma k cyfr to:
\(\displaystyle{ 10^{k-1} \le n < 1o^k}\) ale co dalej?
Pozdrawiam.
Liczba cyfr
-
smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Liczba cyfr
załóżmy, że dla pewnego k zachodzi:
\(\displaystyle{ 12^n<10^k \le 12^n+2^n}\)
podziel obustronnie przez \(\displaystyle{ 2^n}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ 6^n<2^{k-n} \cdot 5^k \le 6^n+1}\)
stąd
\(\displaystyle{ 2^{k-n} \cdot 5^k = 6^n+1}\)
jakąś sprzeczność widzisz?
\(\displaystyle{ 12^n<10^k \le 12^n+2^n}\)
podziel obustronnie przez \(\displaystyle{ 2^n}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ 6^n<2^{k-n} \cdot 5^k \le 6^n+1}\)
stąd
\(\displaystyle{ 2^{k-n} \cdot 5^k = 6^n+1}\)
jakąś sprzeczność widzisz?