liczba podzielna przez 30

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
bzyk12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 327
Rejestracja: 18 lut 2009, o 12:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oświęcim/Wawa
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 43 razy

liczba podzielna przez 30

Post autor: bzyk12 »

Udowodnić, że jeżeli a, b są liczbami całkowitymi, to liczba \(\displaystyle{ N=ab(a-b ^{2})(a ^{2}+b ^{2})}\)jest podzielna przez 30.
Awatar użytkownika
mathX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 648
Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 116 razy

liczba podzielna przez 30

Post autor: mathX »

Obalenie przez kontrprzykład:
\(\displaystyle{ a=-3 \\ b=3}\)

\(\displaystyle{ N=ab(a-b ^{2})(a ^{2}+b ^{2})=(-3) \cdot 3 \cdot (-3-9)((-3) ^{2}+3 ^{2})=(-9) \cdot (-12) \cdot 18=8748}\)

\(\displaystyle{ 30 \nmid 8748 \ - \ sprzecznosc}\)

Pozdrawiam.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

liczba podzielna przez 30

Post autor: Piotr Rutkowski »

Naprawa przez empatię:
Teza to \(\displaystyle{ 30|ab(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=ab(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}\)
Jeśli obie liczby \(\displaystyle{ a,b}\) są nieparzyste, to \(\displaystyle{ a-b}\) jest parzyste, zatem \(\displaystyle{ 2}\) dzieli nasze wyrażenie
Podobnie któraś z liczb \(\displaystyle{ a,b,a+b,a-b}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)
Jeżeli żadna z liczb \(\displaystyle{ a,b,a+b,a-b}\) nie daje zerowej reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\), to wtedy \(\displaystyle{ 2\cdot 3\cdot 5=30|ab(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}\)
Pozdrawiam
ODPOWIEDZ