Suma liczb naturalnych i ich NWD

[chicho23]

Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 96, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 12. Wyznacz te liczby

[pawels]

Niech \(\displaystyle{ n,m\in\mathbb{N}^+\quad n\perp m \quad 12m+12n=96}\). Wówczas \(\displaystyle{ n+m=8}\) ale skoro są względnie pierwsze, a ich suma jest parzysta to obie muszą być nieparzyste bedąc jednocześnie mniejsze od 8. Okazuje się że znalezione warunki konieczne są także dostateczne, skoro jedynymi takimi parami są (7,1), (1,7), (5,3), (3,5) i wszystkie spełniają warunki zadania. Wówczas odpowiedź stanowią pary (84,12) i (50,36).