Witam.
Niech \(\displaystyle{ q, \ p_1 , \ p_2 , \ldots , \ p_q}\) będą liczbami pierwszymi.
Pokazać, że jeśli liczby \(\displaystyle{ p_1 , \ p_2 , \ldots , \ p_q}\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez \(\displaystyle{ q}\), to \(\displaystyle{ p_1=q}\).
Enjoy
Ciąg arytmetyczny liczb pierwszych
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Ciąg arytmetyczny liczb pierwszych
Podoba mi się
Załóżmy wpierw, że \(\displaystyle{ q\not |p_{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \{1,2,...,q\}}\)
Różnicę ciągu oznaczymy jako \(\displaystyle{ r}\)
Jeżeli założenie jest prawdziwe, to wtedy z zasady szufladkowej Dirichleta \(\displaystyle{ \exists_{k,l\in \mathbb{N}} \ p_{k}\equiv p_{l} \ (mod \ q)}\)
Ale wtedy \(\displaystyle{ q|p_{k}-p_{l}=(k-l)r}\)
Mając na uwadze, że zachodzi \(\displaystyle{ q\not |r}\) oraz \(\displaystyle{ (k-l)\in \{1,2,...,q-1\}}\) otrzymujemy sprzeczność.
Zatem \(\displaystyle{ \exists_{q\geq x\in \mathbb{N}} \ q|p_{x}}\), ergo \(\displaystyle{ q=p_{x}}\) (z pierwszości \(\displaystyle{ p_{x}}\))
Jeśli \(\displaystyle{ x=1}\) to teza zadania jest prawdziwa. Załóżmy, że \(\displaystyle{ x>1}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ p_{1}\not |p_{n}}\) dla żadnego \(\displaystyle{ n}\)
Co więcej \(\displaystyle{ p_{1}<q-1}\), zatem wśród \(\displaystyle{ q-1}\) liczb pierwszych znajdziemy co najmniej dwie o tej samej reszcie \(\displaystyle{ (mod \ p_{1})}\)
Zatem \(\displaystyle{ \exists_{q\geq a,b\in \mathbb{N}} \ p_{1}|p_{a}-p_{b}=(a-b)r}\)
Ale \(\displaystyle{ (a-b)<q}\), zetem \(\displaystyle{ p_{1}|p_{1}+(a-b)r=p_{a-b+1}}\)
Sprzeczność dowodzi tezy zadania
Pozdrawiam
Załóżmy wpierw, że \(\displaystyle{ q\not |p_{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \{1,2,...,q\}}\)
Różnicę ciągu oznaczymy jako \(\displaystyle{ r}\)
Jeżeli założenie jest prawdziwe, to wtedy z zasady szufladkowej Dirichleta \(\displaystyle{ \exists_{k,l\in \mathbb{N}} \ p_{k}\equiv p_{l} \ (mod \ q)}\)
Ale wtedy \(\displaystyle{ q|p_{k}-p_{l}=(k-l)r}\)
Mając na uwadze, że zachodzi \(\displaystyle{ q\not |r}\) oraz \(\displaystyle{ (k-l)\in \{1,2,...,q-1\}}\) otrzymujemy sprzeczność.
Zatem \(\displaystyle{ \exists_{q\geq x\in \mathbb{N}} \ q|p_{x}}\), ergo \(\displaystyle{ q=p_{x}}\) (z pierwszości \(\displaystyle{ p_{x}}\))
Jeśli \(\displaystyle{ x=1}\) to teza zadania jest prawdziwa. Załóżmy, że \(\displaystyle{ x>1}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ p_{1}\not |p_{n}}\) dla żadnego \(\displaystyle{ n}\)
Co więcej \(\displaystyle{ p_{1}<q-1}\), zatem wśród \(\displaystyle{ q-1}\) liczb pierwszych znajdziemy co najmniej dwie o tej samej reszcie \(\displaystyle{ (mod \ p_{1})}\)
Zatem \(\displaystyle{ \exists_{q\geq a,b\in \mathbb{N}} \ p_{1}|p_{a}-p_{b}=(a-b)r}\)
Ale \(\displaystyle{ (a-b)<q}\), zetem \(\displaystyle{ p_{1}|p_{1}+(a-b)r=p_{a-b+1}}\)
Sprzeczność dowodzi tezy zadania
Pozdrawiam