Metodyka rozwiązywania zadań z liczbami pierwszymi

[lukratyw123]

Witam.

Poszukuję materiałów, na temat w jaki sposób rozwiązywać zadania "z liczbami pierwszymi", np. takie jak poniżej:

Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to liczba \(\displaystyle{ p^{2}-1}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 24}\)

Dziękuję z góry za każdą pomoc. Pozdrawiam

[Rogal]

Cóż, ja mogę polecić książkę Wacława Sierpińskiego "Teoria liczb", do ściągnięcia z netu, w której takie i podobne zagadnienia są poruszane.
Acz myślę, że aż tak daleko sięgać chyba nie trzeba. W tego typu zadaniach raczej korzysta się ze wzorów skróconego mnożenia i sposobów zapisu liczb pierwszych.

W tym przypadku biorąc, mamy liczbę (p-1)(p+1). Ponieważ p jest liczbą pierwszą większą od 3, to można z całą pewnością powiedzieć, że liczba o jeden od niej mniejsza i o jeden od niej większa (p-1 i p+1) są na pewno parzyste. Więc już wiesz, że liczba (p-1)(p+1) jest podzielna przez 4, jako iloczyn dwóch liczb parzystych. Pozostaje Ci tylko wykazać, że dzieli się przez 6. I tutaj dochodzimy do sedna, czyli do tego, że jeśli p jest pierwsze i większe od 3, to p = 6k+1 lub p = 6k+5, gdzie k e N+. Wstawiasz za p obie te możliwości i już wiesz, że zadana podzielność zachodzi.

[Tomasz Rużycki]

Mozna troszke 'prosciej'

Rozwazmy iloczyn \(\displaystyle{ (p-1)(p+1)}\).

Jedna z liczb \(\displaystyle{ p-1, p+1}\) dzieli sie przez 2, a druga przez 4 (wsrod dwoch kolejnych parzystych jedna dzieli sie przez 4). Podzielnosc przez 8 juz mamy.

Skoro \(\displaystyle{ p\neq 3}\), to ktoras z liczb \(\displaystyle{ p-1,p+1}\) musi byc podzielna przez trzy (bo wsrod liczb \(\displaystyle{ p-1,p,p+1}\) jedna jest podzielna przez 3), a to juz konczy dowod.

Troche nieskladnie napisane, ale mam nadzieje, ze zrozumiale

[lukratyw123]

thx ;d

[koniak20]

I tutaj dochodzimy do sedna, czyli do tego, że jeśli p jest pierwsze i większe od 3, to p = 6k+1 lub p = 6k+5,

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć czemu liczba p musi być takiej postaci?

[PoweredDragon]

Liczby \(\displaystyle{ 6k+2, 6k+4}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) - nie mogą być pierwsze (z wyjątkiem dwójki, ale \(\displaystyle{ 2 < 3}\))
Liczba \(\displaystyle{ 6k+3}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), a skoro liczba jest pierwsza, to tylko \(\displaystyle{ 3}\) spełnia taką postać. Pozostały postaci \(\displaystyle{ 6k \pm 1}\)

[koniak20]

Dziękuję za pomoc.