Liczba pi z dużym rozwinięciem po przecinku

varianttsi · Post autor: **varianttsi** » 23 gru 2009, o 22:20

Swoją drogą zastanawiałem się jak komputer liczy rozwiniecie liczby \(\displaystyle{ \pi}\) , która jest liczbą niewymierną, rozumiem że dwa, trzy miejsca po przecinku można , uwzględniając pewne niepewności pomiarowe samemu sobie obliczyć, ale jak to jest z 10000 miejsc po przecinku.

Tak samo zastanawia mnie (i to jest pytanie fizyczne, konkretnie dotyczące mechaniki kwantowej) jak można obliczyć dokładnie moment pędu elektronu w atomie który porusza po tj. orbicie o ściśle określonym czyli skwantowanym promieniu.
Wylicza się go ze wzoru, który wynika z pierwszego postulatu Bohra:
\(\displaystyle{ mvr = n \frac{h}{2\pi}}\)
chodzi o to (może najpierw przypomnę postulat Bohra: moment pędu elektronu może mieć tylko wartość albo wartość będącą całkowitą wielokrotnością wartości stałej Planca dzielonej przez dwa \(\displaystyle{ \pi}\)) , że stała Planca jest liczbę wymierną natomiast\(\displaystyle{ \pi}\) nie i jak podzielę przez liczbę \(\displaystyle{ \pi}\) mającą 100 miejsc po przecinku to otrzymam inny wynik niż po podzieleniu przez \(\displaystyle{ \pi}\) mające 220 miejsc po przecinku.
A napewno w mechanice kwantowej liczy się dokładność.

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 23 gru 2009, o 22:27

bierzesz takie przybliżenie \(\displaystyle{ \pi}\) które wystarcza do obliczenia wartości pędu elektronu w takim przybliżeniu jak potrzebujesz.. powiedzmy, że potrzebujesz pęd elektronu z dokładnością do 10 miejsc po przecinku.. od pewnego momentu rozszerzania pi nic nie będzie się zmieniać w Twojej wartości..

varianttsi · Post autor: **varianttsi** » 23 gru 2009, o 22:30

no dobra a jak to jest z tym rozwinięciem obliczanym przez komputer

wszamol · Post autor: **wszamol** » 23 gru 2009, o 22:35

polecam lekturę. warto też zajrzeć we wzory Taylora

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 23 gru 2009, o 22:37

komputer ma pi zapisaną jako stałą o jakimś tam wielkim rozszerzeniu.. mogę wspomnieć, że w 1999 r znane było rozwinięcie pi do \(\displaystyle{ 2,0615\cdot10^{11}}\) miejsc po przecinku.. teraz ta liczba pewnie jest jeszcze większa

wszamol · Post autor: **wszamol** » 23 gru 2009, o 22:41

nie sądzę, by np. tak zaawansowany program jak mathematica miał wpisaną liczbę pi choćby z dokładnością do miliona miejsc po przecinku, a jednak można taką wygenerować, ba.. nawet większą:)

Longines · Post autor: **Longines** » 26 gru 2009, o 20:40

Komputer (dokładniej: program komputerowy) nie czyta liczby "pi" tylko ja wylicza. Z jakiego algorytmu korzysta, należy zapytać autora programu. Dla wątpiącego proponuję doświadczenie. Zadać obliczenia programowi powiedzmy Mathematica lub Derive do podania liczby "pi" z dokładnością do 3 miejsc po przecinku, i do (aby nie przegiąć) 100000. Na moim komputerze 1.83 GHz trzy miejsca po przecinku, wynik był w ułamku sekundy. Natomiast 100000, musiałem czekać 120 sekund na odpowiedź programu.
Korzystałem z programu Derive XM