Kolejne potęgi liczby 1,5 przyjmują różne wartości po przecinku. Przykładowo \(\displaystyle{ 1,5^2}\) ma część ułamkową 0,25, a \(\displaystyle{ 1,5^3}\) - 0,375.
Jak sprawdzić czy owa część ułamkowa dla jakiejś potęgi liczby 1,5 może być równa 0,3[...]; 0,33[...]; 0,333[...]; 0,3333[...]; etc. oraz 0,6[...]; 0,66[...]; 0,666[...]; 0,6666[...], etc.? Przy czym kropki [...] to dalszy ciąg cyfr, jak tu: 0,375 (część ułamkowa \(\displaystyle{ 1,5^3}\)).
Czy istnieje tu jakieś ograniczenie, że w części ułamkowej liczby 1,5 bezpośrednio po przecinku może wystąpić np. góra 8 szóstek?
Jak to rozstrzygnąć?
Część ułamkowa
-
mati1024
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 2 sty 2010, o 13:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Pomógł: 25 razy
Część ułamkowa
Ogólnie istnieje taka własność, że jeżeli mianownik ułamka w rozkładzie na czynniki pierwsze ma tylko 2 i 5, to ułamek ten ma rozwinięcie dziesiętne skończone (czyli nieokresowe). Natomiast gdy w rozkładzie mianownika na czynniki występują inne liczby (np, 3, 7), to ułamek ten ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.
W naszym przypadku potęgujemy liczbę \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) .
Zakładając, że wykładniki będą naturalne (będziemy podnosić do potęgi 1, 2, 3, 4, itd.) to będziemy otrzymywali liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{ 3^{n} }{ 2^{n} }}\), gdzie n \(\displaystyle{ \in}\) N. W rozkładzie mianownika na czynniki występować więc będą same 2, więc rozwinięcie będzie skończone.
Jednak gdy rozpatrujemy wykładniki całkowite (również ujemne), to w przypadku tych ujemnych otrzymujemy liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{ 2^{n} }{ 3^{n} }}\). Wtedy w rozkładzie mianownika występują 3, toteż będizemy mieli do czynienia z rozwinięciem nieskończonym okresowym.
a) Będzie to 0,(6) = \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) gdy podnosimy do potęgi -1
b) Gdy podnosimy do innych wykładników ujemnych będą to inne rozwinięcia wśród których nie będzie 0,(3).
Gdybyśmy natomiast podnosili do wykładników wymiernych niecałkowitych, otrzymywalibyśmy pierwiastki których rozwinięcia są nieskończone nieokresowe.
W naszym przypadku potęgujemy liczbę \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) .
Zakładając, że wykładniki będą naturalne (będziemy podnosić do potęgi 1, 2, 3, 4, itd.) to będziemy otrzymywali liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{ 3^{n} }{ 2^{n} }}\), gdzie n \(\displaystyle{ \in}\) N. W rozkładzie mianownika na czynniki występować więc będą same 2, więc rozwinięcie będzie skończone.
Jednak gdy rozpatrujemy wykładniki całkowite (również ujemne), to w przypadku tych ujemnych otrzymujemy liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{ 2^{n} }{ 3^{n} }}\). Wtedy w rozkładzie mianownika występują 3, toteż będizemy mieli do czynienia z rozwinięciem nieskończonym okresowym.
a) Będzie to 0,(6) = \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) gdy podnosimy do potęgi -1
b) Gdy podnosimy do innych wykładników ujemnych będą to inne rozwinięcia wśród których nie będzie 0,(3).
Gdybyśmy natomiast podnosili do wykładników wymiernych niecałkowitych, otrzymywalibyśmy pierwiastki których rozwinięcia są nieskończone nieokresowe.
-
matemix
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Część ułamkowa
No tak to wiem. Tylko czy w którymś z tych skończonych rozwinięć może wystąpić bezpośrednio po przecinku np. sześć 6 lub 3 pod rząd?Zakładając, że wykładniki będą naturalne (będziemy podnosić do potęgi 1, 2, 3, 4, itd.) to będziemy otrzymywali liczby postaci , gdzie n N. W rozkładzie mianownika na czynniki występować więc będą same 2, więc rozwinięcie będzie skończone.