tw. Legendre'a i skrót ord

[veldrim]

Jak w temacie, czy ktoś wie co mówi to twierdzenia, oraz co oznacza w matematyce skrót ord. Między tymi dwoma rzeczami jest jakiś związek. Od siebie dodam, że ten skrót w zapisie przypomina logarytm, też mamy coś w rodzaju podstawy (indeks dolny) i w nawiasie jakieś wyrażenie. Wiadomo, że to działa w jakiś inny (dla mnie) nieznany sposób.

Ma to służyć do wyznaczania np. liczby zer jakimi kończy się duża liczba np. 58!. Może ma ktoś linki z materiałami do takiego czegoś lub mógłby w skrócie wytłumaczyć o co chodzi, jeżeli jest to w miarę proste .

[BettyBoo]

Znam kilka pojęć, dla których skrótem jest ord, ale żadne nie pasuje do tego o czym piszesz

Nazwa tw Legendre'a średnio mi się kojarzy, ale znam twierdzenie, które pozwala m.in. obliczyć ilość zer jakimi kończy się silnia (i jeszcze kilka innych rzeczy też) - może o to właśnie Ci chodzi.. Być funkcję \(\displaystyle{ \alpha}\) wykorzystaną w tym twierdzeniu ktoś sobie oznaczył przez ord z jakimś indeksem

Twierdzenie Dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) określamy funkcję

\(\displaystyle{ \alpha_p:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup\{0\}:\quad \forall\, n\in\mathbb{N}\qquad \alpha_p(n)=k \quad \mathrm{gdy} \quad p^k|n\ \wedge\ p^{k+1}\nmid n.}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ \forall\,n\in\mathbb{N}\ \forall\,p\in\mathbb{P}\qquad \alpha_p(n!)=\sum_{i=1}^\infty \left[\frac{n}{p^i}\right],}\)

gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) oznacza największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą \(\displaystyle{ x}\).

Wartość funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) określonej w powyższym twierdzeniu dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) jest po prostu największą potęgą liczby \(\displaystyle{ p}\), która dzieli \(\displaystyle{ n}\).

Zatem, jeśli chcesz np sprawdzić ile zer na końcu ma liczba \(\displaystyle{ 58!}\), wystarczy zbadać jaka jest najwyższa potęga liczby \(\displaystyle{ 5}\), która dzieli \(\displaystyle{ 58!}\).

Pozdrawiam.

[veldrim]

Wielkie dzięki.

Ja w tej kwestii jestem całkowicie zielony. Fajnie wytłumaczyłeś, wszystko dobrze, ale mam jeszcze jedno pytanie. W jakiej książce znajduje się to twierdzenie? Gdzie mogę je znaleźć?

To ostatnie problemy w tym temacie. No dobra, zżera mnie jednak ciekawość, jakie są znaczenia jeszcze skrótu ord. Gdzie jest wykorzystywany, mogą być linki lub też książka.

Jeszcze raz dzięki za odpowiedź i wesołych świąt.

[frej]

\(\displaystyle{ ord_{p}(a)}\) jest rzędem liczby \(\displaystyle{ a}\) modulo \(\displaystyle{ p}\), czyli najmniejszą liczbą naturalną \(\displaystyle{ d}\) taką, że \(\displaystyle{ a^d \equiv 1\pmod{p}}\)

[patry93]

Pozwolę sobie odkopać.
Co do:

Twierdzenie Dla każdej liczby pierwszej p określamy funkcję [...]

To "niebieski Pawłowski" podaje nazwę - tw. Lagrange'a

Przy okazji mam pytanie - jaki jest "oryginalny" (o ile jest ) dowód tego twierdzenia?
Próbowałem udowodnić sam i proszę o sprawdzenie:
Silnię liczby n można sobie (choć to niezbyt formalne :/) rozpisać jako:
\(\displaystyle{ n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot p \cdot (p+1) \cdot \ldots 2p \cdot (2p +1) \cdot \ldots \cdot 3p \cdot (3p +1) \cdot \ldots \cdot p^2 \cdot (p^2+1) \cdot \ldots \cdot 2p^2 \cdot (2p^2+1) \cdot \ldots \cdot p^3 \cdot \ldots \ldots \cdot n}\)
Stąd, jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza szukany największy wykładnik liczby \(\displaystyle{ p}\), to:
\(\displaystyle{ \alpha = 1+1+ \ldots +1 + 2 + 2 + \ldots + 2 + 3 +3 + \ldots +3 + \ldots}\)
Gdzie liczba jedynek jest tożsama z liczbą pierwszych potęg liczby \(\displaystyle{ p}\) występujących w rozpisanym iloczynie, ogólnie liczba składników o wartości k to liczba k-tych potęg liczby \(\displaystyle{ p}\) w iloczynie. Ale dalej można zapisać:
\(\displaystyle{ \alpha = \underbrace{1+1+\ldots+1}_{(1)} + \underbrace{1+1+\ldots+1}_{(2)} + \underbrace{1+1+\ldots+1}_{(3)} + \ldots}\)
Gdzie (1) oznacza liczbę wszystkich pierwszych potęg \(\displaystyle{ p}\) dzielących \(\displaystyle{ n}\), ogólnie (k) oznacza liczbę wszystkich k-tych potęg dzielących \(\displaystyle{ n}\), skąd już wynika teza.

[BettyBoo]

Jaki jest oryginalny dowód to nie wiem, ale to proste zadanie na zliczanie.

Idea: W liczbie \(\displaystyle{ n!}\) mamy \(\displaystyle{ \left[\frac{n}{p}\right]}\) czynników podzielnych przez \(\displaystyle{ p}\). Niektóre z nich dzielą się przez \(\displaystyle{ p^2}\) i te należy policzyć podwójnie - a więc do tej liczby należy dodać \(\displaystyle{ \left[\frac{n}{p^2}\right]}\). Liczby podzielne przez \(\displaystyle{ p^3}\) należy policzyć potrójnie itd.

Pozdrawiam.