Czym są liczby?

[_Mithrandir]

Tekst z wikipedii czytałem

Czy można stworzyć ciało, którego elementami nie będą liczby, a działania będą zdefiniowane na np. przedmiotach codziennego użytku (nawet jeżeli pozornie bez sensu) albo na literach alfabetu łacińskiego? Czy wtedy ew. elementy mogłyby być liczbami?

Albo czy elementy zbioru \(\displaystyle{ \{ (x,y,z): \; x,y \in \mathbb{C}, \; z \in \mathbb{R} \}}\) są liczbami?

I: mamy przestrzeń liniową V nad ciałem K. Czy zawsze elementy K są liczbami?

Właściwie te pytania sprowadzają się do jednego.

[Jan Kraszewski]

Czy można stworzyć ciało, którego elementami nie będą liczby, a działania będą zdefiniowane na np. przedmiotach codziennego użytku (nawet jeżeli pozornie bez sensu) albo na literach alfabetu łacińskiego? Czy wtedy ew. elementy mogłyby być liczbami?

Albo czy elementy zbioru \(\displaystyle{ \{ (x,y,z): \; x,y \in \mathbb{C}, \; z \in \mathbb{R} \}}\) są liczbami?

I: mamy przestrzeń liniową V nad ciałem K. Czy zawsze elementy K są liczbami?

Właściwie te pytania sprowadzają się do jednego.

Właściwie to na pytanie odpowiedział krl.

JK

[_Mithrandir]

Tzn.? Nie uczyłem się wcześniej niczego na ten temat i wolałbym sam się nie wprowadzić w błąd przypadkiem.

[Jan Kraszewski]

Osobiście uważam, że najlepsza definicja liczby naturalnej to ta ze szkoły (przynajmniej mnie tak uczyli): Np. liczba 5 to wspólna cecha wszystkich zbiorów 5-elementowych. Ale oczywiście każdy może tu mieć swoje zdanie. Dyskusja na temat tego typu podstaw matematyki (w tym: natury matematycznych pojęć) to już nie matematyka, lecz raczej filozofia matematyki. Tu nie dowodzi się twierdzeń.

To tyle na temat liczb naturalnych. Potem poprzez pewne analogie pojęcie liczby zostało rozszerzone o ułamki, liczby wymierne, rzeczywiste, zespolone. To jest historycznie ukształtowana terminologia, że jakieś twory uważamy za liczby, a inne nie.

W związku opisane przez Ciebie obiekty

Czy można stworzyć ciało, którego elementami nie będą liczby, a działania będą zdefiniowane na np. przedmiotach codziennego użytku (nawet jeżeli pozornie bez sensu) albo na literach alfabetu łacińskiego? Czy wtedy ew. elementy mogłyby być liczbami?

Albo czy elementy zbioru \(\displaystyle{ \{ (x,y,z): \; x,y \in \mathbb{C}, \; z \in \mathbb{R} \}}\) są liczbami?

nie są liczbami, bo nie uważamy ich za liczby.

JK

[_Mithrandir]

To na koniec jeszcze jedno pytanie przy okazji tego tematu (bo już chyba zostało napisane to, co chciałem wiedzieć) - czy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2=\mathbb{C}}\)? Bo mamy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2=\{(a,b):\; a,b\in\mathbb{R}\}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{C}=\{(a,b):\; a,b\in\mathbb{R}\}}\). Czy potrzebne jest jeszcze zdefiniowanie działań?