Czym są liczby?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Czym są liczby?

Post autor: _Mithrandir »

Nie znam teorii liczb, ale mam nadzieję, że dobry dział.

Moje pytanie brzmi: czym jest liczba? Czy zna ktoś jakąś definicję liczby? Nie z wikipedii
mestali
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 23 lis 2009, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Pomógł: 5 razy

Czym są liczby?

Post autor: mestali »

Jest to element zbioru, który spełnia określone warunki i też spełniają warunki. Proponuję wejść w algebrę.
miodzio1988

Czym są liczby?

Post autor: miodzio1988 »

mestali, Twoja definicja jest do bani.Niech A= \(\displaystyle{ \{ \emptyset \}}\) Mamy element zbioru. Czy jest ten element liczbą? I co to są za określone warunki?
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Czym są liczby?

Post autor: Kamil_B »

A znasz miodzio1988 konstrukcje von Neumanna liczb naturalnych ?
miodzio1988

Czym są liczby?

Post autor: miodzio1988 »

Kamil_B, a nie znam
... n_Neumanna

O kurde Niezłe My na zajęciach tworzyliśmy jedynie liczby całkowite i wymierne( z relacji równoważności i podziału na klasy abstrakcji), a naturalne wynikały z aksjomatyki Peano. Ale dzięki Kamil_B, za podpowiedź. Kurde, fajnie jest się nauczyć czegos nowego -- 19 grudnia 2009, 10:48 --Ale to i tak nie rozwiązuje nam problemu ktory mamy w temacie, nie?
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Czym są liczby?

Post autor: Kamil_B »

No coż , nie znam uogólnienia tej konstrukcji na liczby rzeczywiste, więc to nie do końca odpowiada na pytanie z tematu
Może jesli autor powie do czego mu to potrzebne bedzie cos łatwiej wymyslic.

Ps. mestali, mógłbyś przybliżyć trochę ?
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Czym są liczby?

Post autor: klaustrofob »

konstrukcja von Neumanna pokazuje tylko tyle, że da się skonstruować coś, co zachowuje się jak liczby. ale czy to liczby? jaki matematyk pojmuje liczby w ten sposób? do mnie znacznie bardziej przemawia intuicjonizm - przynajmniej w tej sprawie.

trudno o odpowiedź na pytanie _Mithrandira, tak zresztą jest w przypadku każdego podstawowego pojęcia. albo się "widzi" liczby i trafnie rozpoznaje ich własności, albo nie. liczba to "coś", co się po prostu widzi.

Erdos powiedział coś takiego: "jak mam Ci wytłumaczyć dlaczego liczby są piękne? jak wytłumaczyć komuś, kto jest głuchy muzycznie, dlaczego piękna jest IX Symfonia Beethovena"?
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Czym są liczby?

Post autor: _Mithrandir »

Konstrukcję von Neumanna znam (choć dopiero teraz dowiedziałem się, że tak to się nazywa).

Dla mnie liczbą zawsze było np. \(\displaystyle{ 1, \; \frac{1}{2}, \; \sqrt{2}, \; \pi}\), a teraz na początku studiów pojawiły się liczby zespolone np. \(\displaystyle{ (1,0)}\), później pojęcie przestrzeni liniowej, wektorów, skalarów i wobec istoty liczb zespolonych pierwsze spojrzenie nasuwa pytanie, czy twór typu (1,3,4) albo ((1,0),(2,1)) też może być liczbą. Przy pojęciu ciała pojawiło się zastrzeżenie \(\displaystyle{ 0\neq 1}\) i przykład jedynki, która jest zerem (choć tu pewnie chodzi o funkcję pełnioną przez liczbę, na zajęciach nigdy nie zostało to do końca powiedziane). Czytałem jeszcze wczoraj co nieco i natrafiłem na kwaterniony, sedeniony i inne twory. Wszystko to spowodowało, że w końcu sam siebie zapytałem czym jest właściwie liczba. Prowadzący ćwiczenia bez przygotowania na szybko odpowiedział, że być może można to określić jako element ciała, ale też tak bez przekonania o tym mówił.
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Czym są liczby?

Post autor: Kamil_B »

klaustrofob pisze:konstrukcja von Neumanna pokazuje tylko tyle, że da się skonstruować coś, co zachowuje się jak liczby. ale czy to liczby? jaki matematyk pojmuje liczby w ten sposób?
Co to znaczy zachowuje się jak liczby? Przecież to są liczby naturalne
A co do matematyków, którzy je tak rozumieją to najlepiej chyba spytać by specjalistów od teorii mnogości, czy ta konstrukcja ma dla nich jakies znaczenie praktyczne.
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Czym są liczby?

Post autor: klaustrofob »

Kamil_B pisze: Co to znaczy zachowuje się jak liczby?
zakładam, że pytasz o własności tworów z konstrukcji von Neumanna. pisząc "zachowuje się tak samo" miałem na myśli "ma bardzo podobne własności". problem: "czy takie same" na razie zostawmy.
Kamil_B pisze: Przecież to są liczby naturalne
nie są. człowiek z protezą nogi może doskonale zastąpić człowieka z nogą, ale nie zmienia to faktu, że nie ma on nogi, a jedynie protezę.
Kamil_B pisze:A co do matematyków, którzy je tak rozumieją to najlepiej chyba spytać by specjalistów od teorii mnogości, czy ta konstrukcja ma dla nich jakies znaczenie praktyczne.
niby dlaczego? chyba, że miałeś na myśli Goedla?
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Czym są liczby?

Post autor: Kamil_B »

klaustrofob pisze: zakładam, że pytasz o własności tworów z konstrukcji von Neumanna. pisząc "zachowuje się tak samo" miałem na myśli "ma bardzo podobne własności". problem: "czy takie same" na razie zostawmy.
Co to znaczy bardzo podobne własności? Gdzie są ewentualne różnice?
klaustrofob pisze: nie są. człowiek z protezą nogi może doskonale zastąpić człowieka z nogą, ale nie zmienia to faktu, że nie ma on nogi, a jedynie protezę.
Nie widzę związku między tą analogią a problemem. I dlaczego nie są to liczby naturalne ( byc może nie dostrzegam jakiejś bardzo subtelnej różnicy) ?
klaustrofob pisze:niby dlaczego? chyba, że miałeś na myśli Goedla?
Mam na mysli czy ogólnie ta konstrukcja ma jakieś zastosowanie w szeroko rozumianej teorii mnogości-przy dowodach, twierdzeniach, definicjach etc.
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Czym są liczby?

Post autor: klaustrofob »

Kamil_B pisze:Co to znaczy bardzo podobne własności?
napisałem tak dla bezpieczeństwa - sam fakt, że nie widzę różnic, nie dowodzi, że ich nie ma.
Kamil_B pisze: Gdzie są ewentualne różnice?
fakt, że nie potrafię ich wskazać, też nie dowodzi, że ich nie ma.
szybko dryfujemy w kierunku filozofii matematyki - ja np. bywam platonikiem: czasami wierzę, że przedmioty matematyczne istnieją niezależnie od nas.
Kamil_B pisze: Nie widzę związku między tą analogią a problemem. I dlaczego nie są to liczby naturalne ( byc może nie dostrzegam jakiejś bardzo subtelnej różnicy) ?
jak możesz widzieć analogię, a nie widzieć jej związku z problemem? toż to sprzeczność w sobie... wyjaśniam: upieram się, że konstrukcja von Neumanna pokazuje jedynie, że możemy skonstruować coś, co przypomina liczby - tj. ma takie własności formalne, jak liczby. co nie oznacza, że to są liczby. jest dowcip o ruskiej maszynie do obierania ziemniaków: wielka jak dom. Breżniew oprowadza Amerykanów i pokazuje im ten cud techniki. wrzucają worek ziemniaków: ziuu, obrane. dwa worki: to samo. dziesięć worków: bum! po chwili z pudła maszyny wychodzi kobieta z nożykiem w ręku i mówi: towarzyszu pierwszy sekretarzu, wolniej, bo nie nadążamy.
jeżeli twierdzisz, że ruska maszyna do obierania ziemniaków to maszyna do obierania ziemniaków, to Twój wybór. ja tak nie uważam.

zresztą, Twoje odesłanie do konstrukcji von Neumanna też nie jest odpowiedzią, a jedynie zepchnięciem problemu - za chwilę zapytam: co to są zbiory? ktoś widział zbiór pusty? jest ten zbiór, czy go nie ma?
Kamil_B pisze:Mam na mysli czy ogólnie ta konstrukcja ma jakieś zastosowanie w szeroko rozumianej teorii mnogości-przy dowodach, twierdzeniach, definicjach etc.
załóżmy, że ma. i co z tego? dlaczego spece od teorii mnogości mieliby określać czym są liczby? czy ich liczby są inne od liczb, z którymi pracuje teorioliczbowiec? dlaczego to nie on miałby określać, czym są liczby? dlaczego chirurg - załóżmy dla uproszczenia, że zajmuje się on jedynie krojeniem ciała - miałby mówić, czym jest człowiek?
abc666

Czym są liczby?

Post autor: abc666 »

Nie tratuję wikipedi jako jakiejś wyroczni, ale przed tą dyskusją można by chociaż przeczytać pierwszy akapit z artykułu Liczba. Myślę, że to by mozno skróciło tą dyskusję
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Czym są liczby?

Post autor: krl »

@Kamil_B: \(\displaystyle{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\}}\) to nie jest liczba dwa, tak naprawdę. To tylko w teorii mnogości przyjmuje się taką definicję, która stara się sformalizować wcześniejsze pojęcie liczby naturalnej. Dodatkowy argument: liczba jeden istnieje już kilka tysięcy lat w kulturze ludzkiej, natomiast teoria mnogości ma dopiero trochę ponad 100 lat. Zabawne jest twierdzić, że przed teorią mnogości ludzie nie wiedzieli, co to jest liczba dwa.
Trzeba odróżnić istotę pojęcia matematycznego od jego formalizacji na gruncie jakiejś teorii. I np. teoria mnogości jest na tyle bogata, że można na jej gruncie zinterpretować, sformalizować pojęcie liczby naturalnej. Ale to niejedyna taka teoria. Alternatywą jest np. teoria kategorii (na gruncie której można zaproponować zupełnie inną formalizację matematyki, wolną od wielu wad formalizacji teoriomnogościowej).

Formalizacja teoriomnogościowa pojęcia liczby naturalnej zniekształca to pojęcie. Przykładowo, może prowadzić do "sensownych" rozważań na temat mnogościowych operacji na liczbach naturalnych, jak np. rozważania zbioru \(\displaystyle{ 1\cup (5\setminus 3) \cup 4}\).
Inne (wcześniejsze) formalizacje pojęcia liczby naturalnej, to systemy zapisu liczby naturalnej, np. system arabski (pozycyjny) przy podstawie 10, lub 2 (jak kto woli).
I teraz rozważmy liczbę 1450981076.
Ktoś mógłby powiedzieć: ta liczba kończy się cyfrą 6.
To nieprawda, a ściślej takie zdanie nie jest sensowne. Tak się (co prawda) mówi potocznie. Natomiast ściśle należałoby to wyrazić mówiąc, że w zapisie dziesiętnym ta liczba kończy się cyfrą 6. A więc kończenie się cyfrą 6 nie jest cechą samej liczby, lecz cechą jej zapisu w systemie dziesiętnym.
Podobnie, formalizacja liczby naturalnej w teorii mnogości wyposaża to pojęcie w specyficzne cechy o charakterze dość przypadkowym, a nawet niepożądanym. W tym sensie ona je zniekształca.

Osobiście uważam, że najlepsza definicja liczby naturalnej to ta ze szkoły (przynajmniej mnie tak uczyli): Np. liczba 5 to wspólna cecha wszystkich zbiorów 5-elementowych. Ale oczywiście każdy może tu mieć swoje zdanie. Dyskusja na temat tego typu podstaw matematyki (w tym: natury matematycznych pojęć) to już nie matematyka, lecz raczej filozofia matematyki. Tu nie dowodzi się twierdzeń.

To tyle na temat liczb naturalnych. Potem poprzez pewne analogie pojęcie liczby zostało rozszerzone o ułamki, liczby wymierne, rzeczywiste, zespolone. To jest historycznie ukształtowana terminologia, że jakieś twory uważamy za liczby, a inne nie.
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Czym są liczby?

Post autor: Kamil_B »

abc666 dlatego w dyskusji ogrniczyliśmy się tylko do liczb naturalnych ( w konstrukcji von Neumanna)

-- 19 gru 2009, o 16:24 --

Już chyba rozumiem
Ukryta treść:    
klaustrofob moja sugestia o wypowiedzenie się specjalistów od teorii mnogości odnosiła się wyłącznie do tego, że owa konstrukcja jest wyprowadzana na grucnie teorii mnogości. I stąd moje pytanie o jej faktyczną uzytecznośc w tej właśnie dziedzinie.
Nie żebym miał coś do ludzi od teorii liczb

Ps. faktycznie dyskusja chyba za bardzo schodzi w stronę filozofii
ODPOWIEDZ