ułamek skracalny

[matematix]

Dowieść, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \mathbb{N}}\) istnieje \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Q}}\), dla którego ułamek \(\displaystyle{ \frac{an+b}{cn+d}}\) jest skracalny.

[Vieshieck]

Znalazłem przypadek, w którym jest to niemożliwe. Nie wiem jednak, czy osoba, która zadała to zadanie, przyjmuje 0 za liczbę naturalną. Jeśli tak, to dla a=0,b=1,c=0,d=2. Dostajemy dla każdego n ułamek 1/2, który oczywiście jest nieskracalny. No ale jest to trochę naciągany przykład Nadal nie wiem, co zrobić, jeśli uznamy, że naturalne się zaczynają od 1, ale pracuję nad tym

[BettyBoo]

Nie do końca rozumiem, co właściwie oznacza (nie)skracalność ułamka, gdy w liczniku i mianowniku są liczby wymierne...?
Przecież jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ n=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}}\), to dany ułamek ma postać \(\displaystyle{ \frac{\frac{ap+bq}{q}}{\frac{cp+dq}{q}}}\) - i jakby nie patrzeć, da się go skrócić przez \(\displaystyle{ q}\). Więc - on jest skracalny czy nie?


Pozdrawiam.

[matematix]

Na początek muszę się przyznać, że sam wymyśliłem to "twierdzenie". A była to raczej hipoteza niż twierdzenie...

Nie do końca rozumiem, co właściwie oznacza (nie)skracalność ułamka, gdy w liczniku i mianowniku są liczby wymierne...?
Przecież jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ n=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}}\), to dany ułamek ma postać \(\displaystyle{ \frac{\frac{ap+bq}{q}}{\frac{cp+dq}{q}}}\) - i jakby nie patrzeć, da się go skrócić przez \(\displaystyle{ q}\). Więc - on jest skracalny czy nie?

Pozdrawiam.

No i właśnie rozpatrywanie tego zadania przy tak ustalonych założeniach jest nieciekawe... Trzeba by było doprecyzować co oznacza w takim wypadku skracalność ułamka. Byłoby to trochę sztuczne.

Ciekawsza i bardziej precyzyjna jest taka hipoteza:
Dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \mathbb{N^{+} }}\) istnieje \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), dla którego ułamek \(\displaystyle{ \frac{an+b}{cn+d}}\) jest skracalny.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{2n+3}}\)?

[M Ciesielski]

BettyBoo, chodzi raczej o to, że licznik i mianownik sa względnie pierwsze.

[BettyBoo]

baQs, termin "względnie pierwsze" dotyczy liczb całkowitych, a tutaj mamy wymierne

Ta hipoteza dla n całkowitego jest nieprawdziwa, przykład podał Dasio11. Można też taki: \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{2n+2}}\).

Można rozpatrzyć jeszcze inną wersję - bazując na tym, o czym pisałam wyżej - czy dla dowolnych a,b,c,d naturalnych istnieją względnie pierwsze p i q takie, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{ap+bq}{cp+dq}}\) jest skracalny.

Pozdrawiam.