Równanie ma postać :
\(\displaystyle{ A= \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2- \sqrt{5}}}\)
Udowodnij że... jest liczbą całkowita
-
TonyRockyHorro
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 4 lis 2009, o 19:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pszczyna
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Udowodnij że... jest liczbą całkowita
Jeśli nie jest oczywiste, że da się to tak zapisać, to można rozwiązać to zadanie też inaczej.
Oznaczmy \(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{2+ \sqrt{5}},\ b=\sqrt[3]{2- \sqrt{5}}}\).
Uzupełnimy to do sumy sześcianów (żeby się pozbyć pierwiastków), a potem skorzystamy z tego, że sumę kwadratów można zapisać inaczej. Wtedy mamy
\(\displaystyle{ a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2-ab}=\frac{a^3+b^3}{(a+b)^2-3ab}}\).
No to teraz obliczamy:
\(\displaystyle{ a^3=2+\sqrt{5},\ b^3=2-\sqrt{5},\ ab=-1}\)
Wobec tego, ponieważ \(\displaystyle{ a+b=A}\), to równanie ma postać
\(\displaystyle{ A=\frac{4}{A^2+3}\ \Rightarrow \ A^3+3A-4=0}\)
Jednym oczywistym pierwiastkiem jest 1, a po podzieleniu otrzymujemy dwumian, który pierwiastków (rzeczywistych) nie ma. Zatem
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2- \sqrt{5}}=1}\)
Pozdrawiam.
Oznaczmy \(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{2+ \sqrt{5}},\ b=\sqrt[3]{2- \sqrt{5}}}\).
Uzupełnimy to do sumy sześcianów (żeby się pozbyć pierwiastków), a potem skorzystamy z tego, że sumę kwadratów można zapisać inaczej. Wtedy mamy
\(\displaystyle{ a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2-ab}=\frac{a^3+b^3}{(a+b)^2-3ab}}\).
No to teraz obliczamy:
\(\displaystyle{ a^3=2+\sqrt{5},\ b^3=2-\sqrt{5},\ ab=-1}\)
Wobec tego, ponieważ \(\displaystyle{ a+b=A}\), to równanie ma postać
\(\displaystyle{ A=\frac{4}{A^2+3}\ \Rightarrow \ A^3+3A-4=0}\)
Jednym oczywistym pierwiastkiem jest 1, a po podzieleniu otrzymujemy dwumian, który pierwiastków (rzeczywistych) nie ma. Zatem
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2- \sqrt{5}}=1}\)
Pozdrawiam.