Udowodnij, że funkcja spełnia warunek

[Citizen]

Funkcja \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\) spełnia dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in R}\) warunki: \(\displaystyle{ f(x+4) \le f(x)+4}\) oraz \(\displaystyle{ f(x+2005) \ge f(x)+2005}\). Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)+1}\)


Z góry dziękuje

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ \forall\ x\in\mathbb{R}:\quad Z1:\ f(x+4) \le f(x)+4,\qquad Z2:\ f(x+2005) \ge f(x)+2005}\)

Z Z1 indukcyjnie wynika, że dla dowolnego rzeczywistego x i dowolnego całkowitego k mamy

\(\displaystyle{ (*)\ f(x+4k)\leq f(x)+4k}\).

Zatem

\(\displaystyle{ f(x)+2005\stackrel{Z2}{\le }f(x+2005)\stackrel{(*)}{\le} f(x+1)+2004}\)

skąd wynika

\(\displaystyle{ (**)\ f(x)+1\le f(x+1)}\)

a więc indukcyjnie wynika dalej, że

\(\displaystyle{ (***)\ \forall\ k\in\mathbb{Z}\quad f(x)+k\le f(x+k)}\)

Wobec tego

\(\displaystyle{ f(x+1)+3\stackrel{(***)}{\le} f(x+4)\stackrel{Z1}{\le} f(x)+4}\)

a więc

\(\displaystyle{ (****) \ f(x+1)\le f(x)+1}\)

Połączenie warunków (**) i (****) daje tezę.

Pozdrawiam.

[Citizen]

Dziękuje