Czy mógłby mi ktoś podać wartość x wraz z rozwiązaniem jak to zrobił (oczywiście na kongruencji)???
x=5(mod7)
x=6(mod8)
x=8(mod10)
x<1000
Kongruencja rozne mody na tym samym x
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Kongruencja rozne mody na tym samym x
Ponieważ moduły nie są względnie pierwsze, to nie można na razie korzystać z chińskiego twierdzenia o resztach. No to najpierw rozbijamy moduł:
\(\displaystyle{ x=8\mod 10\ \Leftrightarrow \ \begin{cases}x=8\mod 2\\ x=8 \mod 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \mod 2\\x=3\mod 5\end{cases}}\)
A teraz
\(\displaystyle{ x=6 \mod 8\ \wedge\ x=0 \mod 2\ \Leftrightarrow \ x=6 \mod8}\)
Zatem układ ostatecznie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5 \mod 7\\ x=6 \mod 8\\ x=3 \mod 5\end{cases}}\)
Moduły są już względnie pierwsze, więc można skorzystać z chińskiego twierdzenia o resztach.
Podstaw do wzoru i gotowe. Ponieważ x<1000, to trzeba we wzorze ograniczyć wartość parametru.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ x=8\mod 10\ \Leftrightarrow \ \begin{cases}x=8\mod 2\\ x=8 \mod 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \mod 2\\x=3\mod 5\end{cases}}\)
A teraz
\(\displaystyle{ x=6 \mod 8\ \wedge\ x=0 \mod 2\ \Leftrightarrow \ x=6 \mod8}\)
Zatem układ ostatecznie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5 \mod 7\\ x=6 \mod 8\\ x=3 \mod 5\end{cases}}\)
Moduły są już względnie pierwsze, więc można skorzystać z chińskiego twierdzenia o resztach.
Podstaw do wzoru i gotowe. Ponieważ x<1000, to trzeba we wzorze ograniczyć wartość parametru.
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 12 gru 2009, o 17:48 przez BettyBoo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
dawidip
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 16 paź 2009, o 19:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: smallTOWN_xD
Kongruencja rozne mody na tym samym x
BettyBoo ale x=8 (mod10) a nie x=6(mod10)
ALe nie wiem moze jakies przeksztalcenie zastosowalas, jesli tak to napisz prosze jakie.
Co to jest to chińskie twierdzenie o resztach?
ALe nie wiem moze jakies przeksztalcenie zastosowalas, jesli tak to napisz prosze jakie.
Co to jest to chińskie twierdzenie o resztach?
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Kongruencja rozne mody na tym samym x
Nie, nic nie zastosowałam, po prostu mi się pomerdało Poprawiłam już.
Chińskie twierdzenie o resztach daje wzór na rozwiązania układów kongruencji o modułach parami względnie pierwszych - sądzę, że powinieneś je znać.
Jeśli jednak nie znasz tego twierdzenia, to na upartego można to zrobić ręcznie - zwykła metoda podstawiania, tylko dla kongruencji.
W takim razie nie trzeba w ogóle przekształcać wyjściowego układu.
1) Rozwiązaniem pierwszego równania jest \(\displaystyle{ x=7k+5,\ k\in\mathbb{Z}}\).
2) Szukasz teraz jakiejkolwiek liczby takiej postaci, która spełnia drugie równanie, czyli
\(\displaystyle{ 7k+5=6\mod 8\ \Rightarrow \ -k=1\mod 8\ \Rightarrow \ k=-1\mod 8\\ \\ \Rightarrow x=7k+5=7(8s-1)+5=56s-2,\ s \in\mathbb{Z}}\).
3) Teraz szukasz jakiejkolwiek liczby postaci \(\displaystyle{ 56s-2}\), która spełnia trzecie równanie
\(\displaystyle{ 56s-2=8\mod 10\ \Rightarrow \ 6s=10=0\mod 10\ \Rightarrow \ 3s=0\mod 5\ \Rightarrow \ s=0\mod 5\\ \\ \Rightarrow \ x=56s-16=56\cdot5m-2=280m-2,\ m\in \mathbb{Z}}\)
4) Zatem \(\displaystyle{ x=280m-2,\ m\in\mathbb_Z}}\). I na koniec warunek: \(\displaystyle{ 280m-2<1000\ \Rightarrow m\leq 3}\) stąd ostatecznie masz
\(\displaystyle{ x=280m-2,\ m\in\mathbb{Z}\ \wedge\ m\leq 3}\)
Pozdrawiam.
Chińskie twierdzenie o resztach daje wzór na rozwiązania układów kongruencji o modułach parami względnie pierwszych - sądzę, że powinieneś je znać.
Jeśli jednak nie znasz tego twierdzenia, to na upartego można to zrobić ręcznie - zwykła metoda podstawiania, tylko dla kongruencji.
W takim razie nie trzeba w ogóle przekształcać wyjściowego układu.
1) Rozwiązaniem pierwszego równania jest \(\displaystyle{ x=7k+5,\ k\in\mathbb{Z}}\).
2) Szukasz teraz jakiejkolwiek liczby takiej postaci, która spełnia drugie równanie, czyli
\(\displaystyle{ 7k+5=6\mod 8\ \Rightarrow \ -k=1\mod 8\ \Rightarrow \ k=-1\mod 8\\ \\ \Rightarrow x=7k+5=7(8s-1)+5=56s-2,\ s \in\mathbb{Z}}\).
3) Teraz szukasz jakiejkolwiek liczby postaci \(\displaystyle{ 56s-2}\), która spełnia trzecie równanie
\(\displaystyle{ 56s-2=8\mod 10\ \Rightarrow \ 6s=10=0\mod 10\ \Rightarrow \ 3s=0\mod 5\ \Rightarrow \ s=0\mod 5\\ \\ \Rightarrow \ x=56s-16=56\cdot5m-2=280m-2,\ m\in \mathbb{Z}}\)
4) Zatem \(\displaystyle{ x=280m-2,\ m\in\mathbb_Z}}\). I na koniec warunek: \(\displaystyle{ 280m-2<1000\ \Rightarrow m\leq 3}\) stąd ostatecznie masz
\(\displaystyle{ x=280m-2,\ m\in\mathbb{Z}\ \wedge\ m\leq 3}\)
Pozdrawiam.