a) Niech \(\displaystyle{ S}\) bedzie zbiorem tych liczb całkowitych \(\displaystyle{ x}\) ,które daja sie zapisac w formie \(\displaystyle{ x=a^3+b^3+c^3-3abc}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ a, b,c}\) sa to pewne liczby całkowite. Wykaż ze jesli \(\displaystyle{ x, y \in S}\) to \(\displaystyle{ xy \in S}\) b) Znajdz najmniejsza liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) taka ze \(\displaystyle{ n \notin S}\)
\(\displaystyle{ (a^3+b^3+c^3-3abc) (d^3+e^3+f^3-3efd)=(ad+be+cf)^3+(ae+bf+cd)^3+(af+bd+ce)^3 - 3(ad+be+cf)(ae+bf+cd)(af+bd+ce)}\)
Zgrabny dowodzik się robi z tw Cauchy'ego jeśli się zauważy, że \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=\begin{vmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{vmatrix}}\)
Punkt b:
Ta liczbą jest 3. Dowód jest siłowy, może ktoś umie ładniej.
Załóżmy, że da się przedstawić 3 w tej postaci, tzn. równanie diofantyczne \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=3}\) ma rozwiązanie. To równanie modulo 3 ma postać \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=0 \mod3}\), skąd mamy \(\displaystyle{ a+b+c=0\mod 3}\). Zatem są tylko 4 możliwe układy reszt z dzielenia przez 3 liczb a,b,c: 000,111,222,012. Sprawdza się w każdym przypadku, że \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=0\mod 9}\), sprzeczność.