Liczby niewymierne
-
afugssa
Liczby niewymierne
"Liczb niewymiernych jest całe mnóstwo - dużo więcej niż wszystkich możliwych liczb wymiernych." Mógłby ktoś przedstawić dowód na to lub zaprzeczyć temu? Bo szczerze powątpiewam w to, co jest tutaj napisane... Pozdrawiam!
-
abc666
-
przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
Liczby niewymierne
Tylko nie mamy do czynienia z jedną nieskończonością. Bo zbiór liczb wymiernych można ustawić w ciąg. Natomiast zbiór liczb rzeczywistych nie, bo załóżmy że istnieje bijekcja:
\(\displaystyle{ f : N \rightarrow \mbox{R} \\}\)
oznaczmy przez a - i - tą cyfrę liczby a,
wtedy niech
\(\displaystyle{ x \in \mbox{R}
\ x \neq f(i)}\)
tzn. i ta cyfra liczby x jest różna od i tej cyfry obrazu liczy i.
i wtedy x nie jest w obrazie f, bo dla kazdego i, i ta cyfra obrazu jest różna od i-tej cyfry liczby x.
Zatem sprzecznosc.
Dodatkowo jeśli skorzystamy z faktu, że jeśli dwa zbiory A i B można ustawić w ciąg to \(\displaystyle{ A \cup B}\) także.
Z czego dostaniemy, że zbiór liczb niewymiernych nie można ustawić w ciąg.
\(\displaystyle{ f : N \rightarrow \mbox{R} \\}\)
oznaczmy przez a - i - tą cyfrę liczby a,
wtedy niech
\(\displaystyle{ x \in \mbox{R}
\ x \neq f(i)}\)
tzn. i ta cyfra liczby x jest różna od i tej cyfry obrazu liczy i.
i wtedy x nie jest w obrazie f, bo dla kazdego i, i ta cyfra obrazu jest różna od i-tej cyfry liczby x.
Zatem sprzecznosc.
Dodatkowo jeśli skorzystamy z faktu, że jeśli dwa zbiory A i B można ustawić w ciąg to \(\displaystyle{ A \cup B}\) także.
Z czego dostaniemy, że zbiór liczb niewymiernych nie można ustawić w ciąg.
-
afugssa
Liczby niewymierne
Dzięki za pomoc, prosiłbym jednak o ostateczną odpowiedź - to znaczy których liczb jest więcej lub dlaczego nie można tego stwierdzić (o ile nie można). Pozdrawiam!
-
abc666
Liczby niewymierne
Liczb niewymiernych jest więcej. Moc zbioru liczb niewymiernych jest taka sama jak moc zbioru liczb rzeczywistych. Natomiast moc zbioru liczb wymiernych jest taka sama jak moc zbioru liczb naturalnych.
Moc zbioru liczb rzeczywistych jest większa niż moc zbioru liczb naturalnych.
Moc zbioru liczb rzeczywistych jest większa niż moc zbioru liczb naturalnych.
-
afugssa
Liczby niewymierne
Wielkie dzięki. Pozdrawiam!
Dopisane:
A mógłby ktoś jeszcze wyjaśnić dlaczego moc zbioru liczb rzeczywistych jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych? Przecież pomimo tego, że:
\(\displaystyle{ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}}\)
to ich moc jest taka sama... W takim razie dlaczego moc zbioru liczb rzeczywistych jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych? Z góry dzięki za odpowiedź.
Dopisane:
A mógłby ktoś jeszcze wyjaśnić dlaczego moc zbioru liczb rzeczywistych jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych? Przecież pomimo tego, że:
\(\displaystyle{ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}}\)
to ich moc jest taka sama... W takim razie dlaczego moc zbioru liczb rzeczywistych jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych? Z góry dzięki za odpowiedź.