wyprowadzenie wzoru

[Hatcher]

Zad.
Pokazać prawdziwość znanego wzoru pozwalającego znaleźć sumę n kolejnych liczb naturalnych wykorzystując własności.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{a_k}=\sum_{k=0}^{n}{a_{n-k}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{a_k +b_k}=\sum_{k=0}^{n}{a_k} +\sum_{k=0}^{n}{b_k}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{ \alpha \cdot a_k}= \alpha \cdot \sum_{k=0}^{n}{a_k}}\)

Wyprowadzenie:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}{i}= \frac{n(n+1)}{2} \iff 2 \cdot \sum_{i=0}^{n}{i}=n(n+1) \iff \sum_{i=0}^{n}{2i}=n(n+1)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}{i+i}=\sum_{i=0}^{n}{i} +\sum_{i=0}^{n}{n-i}}\)

I dalej nie wiem jak to zrobić, wykombinowałem tyle, bo indukcyjnie wykazać ten wzór to umie, ale w taki sposób nie umie tego zrobić za bardzo.

Bardzo proszę o pomoc.

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ 2\sum_{k=0}^{n}i=\sum_{k=0}^{n}i+\sum_{k=0}^{n}i=\sum_{k=0}^{n}i+\sum_{k=0}^{n}(n-i)=\sum_{k=0}^{n}(i+n-i)=\sum_{k=0}^{n}n=n\sum_{k=0}^{n}1=n(n+1)}\)

i stąd masz wzór.

Pozdrawiam.