nierówność z potęgami i wartościami bezwzględnymi

[x_x_x]

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ p\in (0,1] \ \ a,b\in\mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ |a+b|^p\leq |a|^p+|b|^p}\)

[max]

Jeśli \(\displaystyle{ a,b}\) są różnych znaków, to nierówność zachodzi.
Jeśli \(\displaystyle{ a,b}\) są tego samego znaku, to równoważnie mamy do udowodnienia
\(\displaystyle{ (|a| + |b|)^{p}\le |a|^{p} + |b|^{p}}\)
czyli bez straty ogólności \(\displaystyle{ a, b \ge 0.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a = 0 = b,}\) to nierówność zachodzi, więc bez straty ogólności \(\displaystyle{ b > a}\)
Dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ b^{p}}\) otrzymujemy do udowodnienia:
\(\displaystyle{ (\xi)\qquad (t + 1)^{p} \le t^{p} + 1}\)
dla \(\displaystyle{ 0\le t \le 1.}\)
Przyjmując
\(\displaystyle{ f(t) = t^{p} + 1 - (t + 1)^{p}}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ f'(t) = p(t^{p-1} - (t + 1)^{p-1})\ge 0}\) dla \(\displaystyle{ t \in [0,1].}\)
Czyli \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, a ponieważ \(\displaystyle{ f(0) = 0,}\) to \(\displaystyle{ f(t) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ t\in [0,1]}\) co jest równoważne \(\displaystyle{ (\xi).}\)