równania modularne

[Hatcher]

Zad 1.
Rozwiązać kongruencje wykorzystując twierdzenie Eulera:
\(\displaystyle{ 25x \equiv 3 (\mod12)}\)

Zad 2.
Rozwiazac kongruencje:
a.\(\displaystyle{ x^{100} \equiv 1 (\mod11)}\)
b.\(\displaystyle{ x^5-5x^3+4x \equiv 0 (\mod120)}\)

Bardzo proszę o pomoc.

[BettyBoo]

1) nie wiem, co z tym ma wspólnego tw Eulera, kongruencja się upraszcza do \(\displaystyle{ x \equiv 3 (\mod12)}\) i gotowe. Jesteś pewien, że podałeś poprawną treść?

2)a) \(\displaystyle{ \varphi(11)=10\ \Rightarrow \ \forall\ x\neq 0\ \ x^{10}\equiv 1 (\mod11)\ \Rightarrow \ \forall\ x\neq 0\ \ x^{100}\equiv1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 0^{100}\nequiv 1 (\mod11)}\) to rozwiązaniem (w \(\displaystyle{ Z_{11}}\)) są wszystkie niezerowe elementy.

2)b) \(\displaystyle{ 120=8\cdot 3\cdot 5}\) więc z chińskiego tw o resztach mamy
\(\displaystyle{ x^5-5x^3+4x \equiv 0 (\mod120)\ \Leftrightarrow \begin{cases}x^5-5x^3+4x \equiv 0 (\mod8)\\x^5-5x^3+4x \equiv 0 (\mod3)\\x^5-5x^3+4x \equiv 0 (\mod5)\end{cases}}\)

I dalej:

\(\displaystyle{ x^5-5x^3+4x \equiv 0 (\mod3)\ \Leftrightarrow \ x+x+x\equiv0(\mod3)}\) a więc każdy x to spełnia
\(\displaystyle{ x^5-5x^3+4x \equiv 0 (\mod5)\ \Leftrightarrow \ x+0+4x\equiv0(\mod5)}\)a więc każdy x to spełnia
\(\displaystyle{ x^5-5x^3+4x \equiv 0 (\mod8)}\) - np możesz to rozwiązać podstawiając po kolei wszystkie liczby od 0 do 7.

Pozdrawiam.

[Hatcher]

w pierwszym na pewno podałem poprawną treść, tak jak ty to zrobiłaś ja też umie, ale nie wiem jak to zrobić wg twierdzenie Eulera

A mam pytanie odnośnie drugiego podpunktu b.

Jak tam rozpisałaś do układ równań i rozpatrujesz po kolei osobno
\(\displaystyle{ x^5-5x^3+4x \equiv 0 (\mod3)\ \Leftrightarrow \ x+x+x\equiv0(\mod3)}\) to robiłaś to w taki sposób:
\(\displaystyle{ x^5 \equiv n (\mod3)}\), \(\displaystyle{ -5x^3 \equiv k (\mod3)}\), \(\displaystyle{ 4x \equiv l ( \mod3)}\), czyli sprawdzałaś do jakich reszt przystają poszczególne skladniki, tak zrobiłaś to przejście, bo ja za bardzo nie wiem jak to się robi dlatego się pytam oto zadanie?


W jaki sposób w ogóle mam rozwiązywać takie zadania:
np jeszcze takie:
\(\displaystyle{ x^5-2x^3+1 \equiv 0 (\mod6)}\)
z czego mam tutaj korzystać? z jakich praw w jaki sposób mam to robić?

[BettyBoo]

Niee no po kolei to za dużo roboty :p

Korzystałam tutaj z Fermata w postaci \(\displaystyle{ a^p\equiv a {\mod p}}\) oraz z upraszczania sumy, różnicy i iloczynu (np \(\displaystyle{ -5\equiv 1 \mod3\ \wedge\ x^3\equiv x \mod3 \Rightarrow \ -5x^3\equiv x \mod3}\) itd)

Równanie dla małego modułu można rozwiązywać ręcznie - tzn po prostu sprawdzasz wszystkie możliwości (dla równania modulo 6 sprawdzasz 0,1,2,3,4,5).

Pozdrawiam.