Liczba 246810...9698100 - matura roz. z Operonem, dowód

[mtg]

Czy podany dowód jest prawidłowy?

Mamy liczbę a = 24681012141618...9698100. Mamy sprawdzić, czy jest ona kwadratem innej liczby naturalnej.

Na początek sumujemy cyfry tej liczby. Otrzymujemy 426, sumujemy dalej cyfry tej liczby. Otrzymujemy 12, sumujemy dalej: otrzymujemy 3.

Teraz patrzymy na sumy cyfr (ew. sumy cyfr sumy cyfr, itd.) kwadratów kolejnych liczb naturalnych.

1 - 1
4 - 4
9 - 9
16 - 7
25 - 7
36 - 9
49 - 4
64 - 1
81 - 9

100 - 1
121 - 4
144 - 9
169 - 7
196 - 7
225 - 9
256 - 4
289 - 1
324 - 9

361 - 1
400 - 4
...

Zauważam tu okresowy ciąg o postaci (1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9). Upewniam się przez to, że wystąpią w tym ciągu tylko cyfry zawarte w tym okresie, to znaczy 1, 4, 7, 9, czyli cyfry wszystkich kwadratów liczb naturalnych dodatnich muszą sumować się do 1, 4, 7 lub 9.

Suma cyfr liczby a wynosi 3, więc zgodnie z powyższym twierdzeniem, nie może ona być kwadratem innej liczby naturalnej.

[xanowron]

Jeżeli liczba dzieli się przez 3, a nie dzieli się przez 9 nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Twój sposób też jest dobry.

[cinny]

Zauważam tu okresowy ciąg o postaci (1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9). Upewniam się przez to, że wystąpią w tym ciągu tylko cyfry zawarte w tym okresie, to znaczy 1, 4, 7, 9, czyli cyfry wszystkich kwadratów liczb naturalnych dodatnich muszą sumować się do 1, 4, 7 lub 9.

Jak na dowód matematyczny, to nie jest to żaden dowód. Zauważasz po prostu że dla kolejnych wartości to jest spełnione, ale nigdzie nie wykazujesz że dla WSZYSTKICH liczb tak musi być, opierasz się tylko na hipotezie (która bądź co bądź pewnie jest spełniona), brak tu dowodu matematycznego, który by z niej zrobił ugruntowane twierdzenie matematyczne. Dlatego wolę sposób xanowrona. Chyba, że umiesz udowodnić swoją hipotezę;) Wtedy dużo bardziej wolałbym Twój sposób. Pozdrawiam.

-- 29 lis 2009, o 10:04 --

Oznaczmy sumę sumy etc. cyfr liczby \(\displaystyle{ k^2}\) przez \(\displaystyle{ s}\). Twoja hipoteza zakłada, że wówczas suma sumy etc. cyfr liczby \(\displaystyle{ (k+9)^2=k^2+18k+81}\) również jest równa \(\displaystyle{ s}\). Podoba mi się to zdanie, ale jak je udowodnić?:D

-- 29 lis 2009, o 10:09 --

Może tak: suma sumy etc. cyfr danej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) to po prostu banalne \(\displaystyle{ m\pmod{9}}\), gdzie zapis \(\displaystyle{ a\pmod{b}}\) oznacza resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\). A widać od razu że \(\displaystyle{ k^2+18k+81\equiv k^2\equiv s\pmod{9}}\), co kończy dowód;)