podzielność liczby

[Nex Vaclav Friedrich]

Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba \(\displaystyle{ n ^{3}+3}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n+3}\).

[mathX]

\(\displaystyle{ \begin{cases} n^{3}+3 \equiv 0 \ mod \ n+3 \\ n+3 \equiv 0 \ mod \ n+3 \end{cases} \Rightarrow n^{3}+3 \equiv n+3}\)

\(\displaystyle{ n^{3}+3 \equiv n+3}\)
\(\displaystyle{ n^{3} \equiv n}\)
\(\displaystyle{ n^{3}-n \equiv 0}\)
\(\displaystyle{ n(n-1)(n+1) \equiv 0}\)

Myślę, że dalej nie powinieneś mieć problemu ze znalezieniem wszystkich \(\displaystyle{ n}\) spełniających tą zależność.

Pozdrawiam.

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ \begin{cases} n^{3}+3 \equiv 0 \ mod \ n+3 \\ n+3 \equiv 0 \ mod \ n+3 \end{cases} \Rightarrow n^{3}+3 \equiv n+3}\)

\(\displaystyle{ n^{3}+3 \equiv n+3}\)
\(\displaystyle{ n^{3} \equiv n}\)
\(\displaystyle{ n^{3}-n \equiv 0}\)
\(\displaystyle{ n(n-1)(n+1) \equiv 0}\)

Myślę, że dalej nie powinieneś mieć problemu ze znalezieniem wszystkich \(\displaystyle{ n}\) spełniających tą zależność.

Pozdrawiam.

Mógłbyś pokazać?

Anyway najprościej jest:
\(\displaystyle{ (a=n+3|n^{3}+3)\iff (a|a^{3}-(n^{3}+3)=9n^{2}+27n-2=9n(n+3)-24)}\)
czyli \(\displaystyle{ a|24}\)... Teraz już chyba łatwo
Pozdrawiam

[Nex Vaclav Friedrich]

Ja wymyśliłem coś takiego:
\(\displaystyle{ n+3\mid n ^{3}+3}\)
\(\displaystyle{ n+3\mid (n ^{2}-9)n +9n+3}\)
\(\displaystyle{ n+3\mid 9n+3}\)
1) dla \(\displaystyle{ n=2k}\)
\(\displaystyle{ 2k+3\mid 18k+3}\)
\(\displaystyle{ 18k+3-2k-3=16k}\)
różnica tych dwóch liczb nie jest podzielna przez 2k+3 i tym samym 18k+3 nie jest wielokrotnością 2k+3.
2) dla \(\displaystyle{ n=2k+1}\)
\(\displaystyle{ 2k+4\mid 18k+12}\)
\(\displaystyle{ k+2\mid 9k+6}\)
\(\displaystyle{ k+2\mid (k+2)9-12}\)
\(\displaystyle{ k+2\mid 12}\)
\(\displaystyle{ k=0,1,2,4,10}\)
i wtedy :
\(\displaystyle{ n=1,3,5,9,21}\)

[klaustrofob]

można też tak (czy tak robił mol_książkowy?): podzielmy wielomian \(\displaystyle{ x^3+3}\) przez \(\displaystyle{ x+3}\). mamy:
\(\displaystyle{ x^3+3=(x+3)(x^2-3x+9) - 24}\). zatem, liczba \(\displaystyle{ n^3+3}\) jest podzielna przez n+3 <=> (n+3)|24.
----
poprawione

[Nex Vaclav Friedrich]

ma być -24