Udowodnij indukcyjnie...

Jaszeszczok · Post autor: **Jaszeszczok** » 26 lis 2009, o 12:30

Witam, czy możecie mi pokazać jak krok po kroku robić zadanie tego typu:
Udowodnij indukcyjnie że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi:

\(\displaystyle{ 3 | ( 4^{n} + 5)}\)

Najpierw sprawdzam dla n=1 i jest ok, a później mam sprawdzić dla n=n+1 i już nie jest ok:P
Z góry dziękuje i pozdrawiam.

emelcia · Post autor: **emelcia** » 26 lis 2009, o 12:34

no jak masz \(\displaystyle{ 4^{n}}\) to teraz będziesz miał \(\displaystyle{ 4^{n+1}}\) czyli \(\displaystyle{ 4^{n} \cdot 4^{1}}\)

Jaszeszczok · Post autor: **Jaszeszczok** » 26 lis 2009, o 12:38

I to cały dowód:)?
Chyba nie:P
Pozdrawiam

emelcia · Post autor: **emelcia** » 26 lis 2009, o 12:47

no co Ty

napisałam tylko to, z czym masz problem

dalej już wiesz jak czy kombinować?

Jaszeszczok · Post autor: **Jaszeszczok** » 26 lis 2009, o 13:46

Chyba poproszę step by step jeśli możesz:)

emelcia · Post autor: **emelcia** » 26 lis 2009, o 13:55

a teraz moje idiotyczne pytanie: jaka jest druga strona równania?
bo ja zawsze rozwiązywałam z = i to było banalne...

myślę i myślę nad tym przykładem...

Jaszeszczok · Post autor: **Jaszeszczok** » 26 lis 2009, o 14:21

Całe zadanie to:

Udowodnij indukcyjnie że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi:

\(\displaystyle{ 3 | ( 4^{n} + 5)}\)

emelcia · Post autor: **emelcia** » 26 lis 2009, o 14:36

No ja wiem, czyli na siłę trzeba prawą stronę doprowadzić do tego, aby przed nawiasem była liczba 3.
Ale ja takich nie rozwiązywałam...

Jaszeszczok · Post autor: **Jaszeszczok** » 26 lis 2009, o 14:40

Heh, też wiem co trzeba osiągnąć ale nie wiem jak:P
Pozdrawiam, dzięki za zainteresowanie;)

emelcia · Post autor: **emelcia** » 26 lis 2009, o 14:46

Nie pomogłam, ale cóż...
Pozdrawiam również

JWilk · Post autor: **JWilk** » 27 lis 2009, o 00:41

Pierwszym krokiem jest baza indukcji. Sprawdzasz czy teza jest prawdziwa dla n = 1 i tyle.
Potem robisz założenie indukcyjne, że dla pewnego n teza zachodzi. Wtedy chcesz pokazać, że teza jest także prawdziwa dla n + 1. Zatem założenie wygląda następująco:
\(\displaystyle{ 3 | 4^{n} + 5}\)
Jest to równoważne z takim napisem:
\(\displaystyle{ 4 ^{n} + 5 \equiv 0}\) ( mod 3 )
No i teraz mając do dyspozycji Twoje założenie i bazę chcesz pokazać, że
\(\displaystyle{ 4 ^{n + 1} + 5 \equiv 0}\) ( mod 3 )
Widzisz, że: \(\displaystyle{ 5 \equiv 2 ( mod 3 )}\), oraz
\(\displaystyle{ 5\equiv -4^{n} \equiv 2}\) (mod 3)
Czyli:
\(\displaystyle{ 4^{n} \equiv 1}\) (mod 3).
Zatem na mocy praw kongruencji \(\displaystyle{ 4^{n} * 4 \equiv 1 * 4 \equiv 1}\) (mod 3).
Ostatecznie \(\displaystyle{ 4 ^{n + 1} + 5 \equiv 1 + 2 \equiv 0}\) ( mod 3 ).
To pokazuje, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) zachodzi ta podzielność.
Pozdrawiam,
JW