Podzielność, l. pierwsze

[patry93]

Witam.

\(\displaystyle{ p < r \in \mathbb{P} , \ k, m, n, a \in \mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ a=prk , \ k^3= \frac{m^3}{p^2r} + \frac{n^3}{pr^2} + \frac{3mna}{p^2r^2}}\)
To, co wyżej, jest podane.
Można z tego wywnioskować, że:
\(\displaystyle{ p^2r^2 | m^3r+n^3p+3mna \Rightarrow pr | m^3r+n^3p \Rightarrow p|m , \ r|n}\)
A czy można dowieść, że \(\displaystyle{ pr|m , \ pr|n}\)?

Z góry dziękuję.

[Mayom]

skąd się bierze ta druga implikacja?

[patry93]

Ponieważ np. \(\displaystyle{ p|m^3r+n^3p \Rightarrow p|m^3r \Rightarrow p|m^3 \Rightarrow p|m}\), gdyż \(\displaystyle{ p \ i \ r}\) są względnie pierwsze.

[Mayom]

a faktycznie, dzięki.

p|m
np. p=7 m=42
r|n np. 11 n=121
to co chcesz dowieść
pr|m
7*11|42
czyli chyba to nie prawda.
albo jakiegoś założenia nie uwzględniam

[patry93]

Lecz czy znajdziesz wtedy takie \(\displaystyle{ k}\), by wszystko się zgadzało?

[Piotr Rutkowski]

Da się dowieść, nawet bardzo łatwo.
Udowodniłeś już, że \(\displaystyle{ m=pm' \ n=rn'}\)
Podstawiając do naszej podzielności mamy:
\(\displaystyle{ p^{2}r^{2}|(rp^{3}m'^{3}+pr^{3}n'^{3}+3m'n'pra)}\) czyli
\(\displaystyle{ pr|(p^{2}m'^{3}+r^{2}n'^{3}+3m'n'a)}\) czyli
\(\displaystyle{ pr|(p^{2}m'^{3}+r^{2}n'^{3})}\)
Teraz rozpatrując oddzielnie podzielność przez \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ r}\) łatwo otrzymamy \(\displaystyle{ pr|n}\) i \(\displaystyle{ pr|m}\)
Pozdrawiam