Znajdz resztę z dzielenia

[Citizen]

Pewna liczba daje resztę 1 z dzielenia przez 3 oraz resztę 6 z dzielenia przez 7. Znajdz resztę jaka daje ta liczba z dzielenia przez 21.

Tak na palcach to 13, ale jak to pokazać?

[Brzytwa]

Pewna liczba daje resztę 1 z dzielenia przez 3 oraz resztę 6 z dzielenia przez 7. Znajdz resztę jaka daje ta liczba z dzielenia przez 21.

Tak na palcach to 13, ale jak to pokazać?

Chyba właśnie najprościej jest to pokazać na palcach. Skoro daje resztę \(\displaystyle{ 6}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\), to przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 21}\) może dawać resztę \(\displaystyle{ 6}\), \(\displaystyle{ 13}\) lub \(\displaystyle{ 20}\). Ponieważ również ma dawać resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\), to poprawną odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 13}\).

[bankierka]

Zeby pokazać to od strony matematycznej to należało by zastosować chińskie twierdzenie o resztach,

[Brzytwa]

Zeby pokazać to od strony matematycznej to należało by zastosować chińskie twierdzenie o resztach,

W jaki sposób pokażesz, że tamten dowód nie jest "matematyczny"? A po za tym zwykle się przyjmuje (przynajmniej tak przyjmują matematycy), że w dowodach nie używamy armat.

[bankierka]

\(\displaystyle{ m_{1}=3}\)
\(\displaystyle{ m_{2}=7}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ b_{2}=6}\)
\(\displaystyle{ x\equiv1(mod3)}\)
\(\displaystyle{ x\equiv6(mod7)}\)
M=3*7=21
\(\displaystyle{ M _{1}= \frac{M}{ m_{1} } =\frac{21}{3} =7}\)
\(\displaystyle{ M _{2}= \frac{M}{ m_{2} } =\frac{21}{7} =3}\)
\(\displaystyle{ M^{*} _{1} \cdot M _{1}\equiv1(mod m_{1} )}\)
\(\displaystyle{ M^{*} _{1} \cdot7\equiv1(mod 3 )}\)
\(\displaystyle{ M^{*} _{1}=4}\)
\(\displaystyle{ M^{*} _{2} \cdot M _{2}\equiv1(mod m _{2} )}\)
\(\displaystyle{ M^{*} _{2} \cdot3\equiv1(mod 7 )}\)
\(\displaystyle{ M^{*} _{1}=5}\)
\(\displaystyle{ x=M^{*} _{1} \cdot M _{1} \cdot b_{1} +M^{*} _{2} \cdot M _{2} \cdot b_{2}\equiv4*7*1+5+3*6\equiv90\equiv 13(mod21)}\)
i szukaną liczbą jest 13

[Brzytwa]

No super rozwiązanie. Ale nie odpowiedziałaś na moje pytanie. No i jeszcze bym prosił o pokazanie dowodu twierdzenia chińskiego o resztach. Bo chcemy pokazać to elementarnie.