dla liczb a,b,c,x udowodnić pewną zależność.

[piotrek9299]

\(\displaystyle{ a^2 \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2 \frac{(x-c)(x-1)}{(b-c)(b-a)}+c^2 \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} =x^2}\)
a,b,c są parami różne.

Jeśli:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+ \frac{c}{a-b}=0}\)
a,b,c są parami różne
to:
\(\displaystyle{ \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+ \frac{c}{(a-b)^2}=0}\)


Z pozostałymi przykładami z tego zadania sobie poradziłem, a z tymi dwoma nie mogę (do drugiego jest podpowiedź, ale mi nie idzie nawet z nią) ...

Z góry dziękuję za pomoc.

[Qń]

W pierwszym jest literówka, zamiast \(\displaystyle{ 1}\) powinno być \(\displaystyle{ a}\).

1) Zauważmy, że obie strony są wielomianami stopnia drugiego, które przyjmują równe wartości w trzech punktach \(\displaystyle{ a,b,c}\). Zatem muszą to być wielomiany równe.

2) Wystarczy wymnożyć wyjściową równość kolejno przez \(\displaystyle{ \frac{1}{b-c},\frac{1}{c-a},\frac{1}{a-b}}\) i trzy otrzymane równości dodać stronami.

Q.

[piotrek9299]

Dzięki
pierwsze rozumiem.

co do drugiego:

no tak, taka też jest podpowiedź, ale jak dodam stronami to tam mi zostaje to szukane wyrażenie i potem się nic nie zeruje

[Qń]

Zeruje się. Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{b}{c-a} \left( \frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}\right) =\frac{b}{(b-c)(a-b)}}\)
Po dodaniu stronami rzeczonych trzech równości zostanie zatem:
\(\displaystyle{ \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+ \frac{c}{(a-b)^2}
+\frac{b}{(b-c)(a-b)}+\frac{c}{(c-a)(b-c)}+\frac{a}{(a-b)(c-a)}= 0}\)
Jeśli trzy ostanie składniki doprowadzimy do wspólnego mianownika, to wtedy się wyzerują i to będzie koniec.

Q.

[Mayom]

Mam problem z zadaniem pierwszym, nie znam tego twierdzenia (z tym wielomianem) i nie potrafię go udowodnić. Da się to udowodnić korzystając z narzędzi przeciętnego licealisty?

[Qń]

Po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę:
\(\displaystyle{ a^2 \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2 \frac{(x-c)(x-1)}{(b-c)(b-a)}+c^2 \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} -x^2=0}\)
otrzymamy równanie stopnia co najwyżej drugiego ze względu na \(\displaystyle{ x}\), które ma trzy pierwiastki \(\displaystyle{ a,b,c}\). Równanie kwadratowe ma co najwyżej dwa pierwiastki, równanie liniowe ma co najwyżej jeden pierwiastek - zatem nie może być to żadne z tych równań. Stąd wniosek, że jego lewa strona będzie jakąś stałą i oczywiście równą zero. Skoro zaś lewa strona jest tożsamościowo równa zero, to stąd natychmiast otrzymujemy tezę.

Nietrudno udowodnić ogólniejszy fakt: jeśli wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) ma \(\displaystyle{ n+1}\) pierwiastków (licząc z krotnościami), to musi to być wielomian stały. Stąd zaś płynie wniosek z którego pierwotnie skorzystaliśmy, tzn: jeśli wielomiany stopnia \(\displaystyle{ n}\) przyjmują równe wartości w co najmniej \(\displaystyle{ n+1}\) punktach, to muszą to być wielomiany równe.

Q.

[Mayom]

nie wiem czy dobrze zrozumiałem.

Pozwól, że napiszę moimi słowami:

Mamy wielomian zmiennej x, z trzema parametrami: a,b,c.
W(a)=0
W(b)=0
W(c)=0
stąd pierwiastkami są a,b,c. i żaden pierwiastek nie ma krotności większej niż 1.
jest to wielomian stopnia maksymalnie drugiego (bo x występuje w potędze maxymalnie drugiej).
Wielomian stopnia drugiego ma 2 pierwiastki, 1, albo w ogóle, stąd W nie jest wielomianem drugiego stopnia.
Wielomian stopnia pierwszego gdy wsp. kierunkowy jest różny od zera ma jeden pierwiastek.
Czyli wielomian W musi być jakąś stałą, jeśli stała byłaby różna od zera to nie mielibyśmy pierwiastków, a mamy ich aż 3 różne, więc W musi być wielomianem zerowym. stąd teza.

dobrze zrozumiałem?

[Qń]

Dokładnie tak.

Q.

[Mayom]

Dziękuję ślicznie