Udowodnij, ze \(\displaystyle{ 21 | 2^{4^{n}}+5}\) gdy n jest liczba calkowita dodania.
Mam wiec:
\(\displaystyle{ 2^{4^{n}}+5 \equiv 0 (mod21)}\)
Probowalam to rozlozyc na
1. \(\displaystyle{ 2^{4^{n}}+5 \equiv 0 (mod3)}\)
2. \(\displaystyle{ 2^{4^{n}}+5 \equiv 0(mod7)}\)
(bo chyba moge tak zrobic?)
Jezeli moj sposob jest zly, to prosze o jakis inny, a jezeli ok, to prosze o udowodnienie 2., bo 1. wyszlo ladnie.
podzielność kungruencja
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
podzielność kungruencja
Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ 6 | (4^n-4)}\). Tak więc \(\displaystyle{ 4^n-4= 6k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego. Jak łatwo sprawdzić zachodzi:
\(\displaystyle{ 2^6 \equiv 1 \mod 21}\)
Po podniesieniu do potęgi \(\displaystyle{ k}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ 2^{4^n-4} \equiv 1 \mod 21}\)
a po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ 2^4}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2^{4^n} \equiv 2^4 \mod 21}\)
Dodając do tej kongruencji stronami oczywistą kongruencję:
\(\displaystyle{ 5 \equiv -2^4 \mod 21}\)
otrzymujemy tezę.
Q.
\(\displaystyle{ 2^6 \equiv 1 \mod 21}\)
Po podniesieniu do potęgi \(\displaystyle{ k}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ 2^{4^n-4} \equiv 1 \mod 21}\)
a po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ 2^4}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2^{4^n} \equiv 2^4 \mod 21}\)
Dodając do tej kongruencji stronami oczywistą kongruencję:
\(\displaystyle{ 5 \equiv -2^4 \mod 21}\)
otrzymujemy tezę.
Q.