kongruencja i tw. Eulera

[rhomcio]

Rozwiązać kongruencję wykorzystując tw. Eulera
\(\displaystyle{ 5x\equiv 6(mod7)}\)

Niby rozwiązuję, ale gdzieś musi być błąd, bo wychodzi błędny wynik, proszę o pomoc w znalezieniu błędu:
\(\displaystyle{ 5^{\phi(7)}\equiv1(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 5^{4}\equiv1(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 5^{4}*6 \equiv6(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 5^{3}*6=750}\) - rozw. kongruencji
\(\displaystyle{ 750\equiv1(mod7)}\)
Czyli pierwiastek wychodzi mi 1, a rozwiązanie 1+7t..

[Kartezjusz]

Bo rozwiązaniem równania kongruentnego jest zawsze zbiór.
Tw Eulera pozwala znaleźć rozwiązanie szególne,ale dodaj do tej liczby wielokrotnosci 7.
Reszta z dzielenia przez 7 tych liczb jest taka sama dla dowolnego t.

Rozwiązaniem równania kongruencyjnego modulo n jest zawsze warstwa : x+nZ
x-rozwiązanie,które wyliczyłeś prosto z równania

[rhomcio]

ale przecież wyszedł zbiór 1+7t, tylko że jest to błędne rozwiązanie, gdzie indziej chyba coś jest nie tak

[wiedzma]

a \(\displaystyle{ \phi(7)}\) to na pewno 4, a nie 6?

[rhomcio]

masz racje wiedzmo:)

[bankierka]

\(\displaystyle{ 5 \cdot x\equiv 6(mod7)}\)
sprawdzamy po kolei dla x=1,2,...
\(\displaystyle{ x=1}\) ,\(\displaystyle{ 5 \equiv 5(mod7)}\)
\(\displaystyle{ x=2}\) ,\(\displaystyle{ 10 \equiv 3(mod7)}\)
\(\displaystyle{ x=3}\) ,\(\displaystyle{ 15 \equiv 1(mod7)}\)
\(\displaystyle{ x=4}\) ,\(\displaystyle{ 20 \equiv 6(mod7)}\)
stąd mamy że \(\displaystyle{ x\equiv4(mod 7)}\)