Problemy z zadaniami z teorii liczb

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
vayneyks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 24 lis 2009, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska ?

Problemy z zadaniami z teorii liczb

Post autor: vayneyks »

Nie wiedziałem jak nazwać temat ; /

Mam problem, mam 5 zadań, których raz że nie rozumiem, a dwa potrzebuje nauczyć się sposobu rozwiązywania czegoś takiego, który można zastosować do podobnych przykładów :

1) Udowodnij
\(\displaystyle{ 10|3^{4n+1}+1}\)
2) Oblicz :
\(\displaystyle{ \varphi (120)}\)
3) Jaka jest cyfra jedności \(\displaystyle{ 2^{1000}}\)
4) Policz : \(\displaystyle{ 5x+4y=21}\)
5) Dla ciała \(\displaystyle{ 2n=5 \quad (\mathbb{Z}, +_5, \cdot_5)}\)
Policz \(\displaystyle{ x^2+2x+1}\)

Nie mam zielonego pojęcia jak się za to zabrać, z góry dziękuję za wszelką pomoc : )

Pozdrawiam !
Aleksina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 12 lis 2009, o 16:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Problemy z zadaniami z teorii liczb

Post autor: Aleksina »

3)

\(\displaystyle{ 2 ^{1} = 2}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{2} = 4}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{3} = 8}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{4} = 16}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{5} = 32}\)

Widzimy że potęgi dwójki kończą się kolejno 2, 4, 6, 8. Jest tych końcówek 4, więc dzielimy wykładnik, tj. 1000 przez 4. Reszta jest zerem, więc liczba kończy się 6.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Problemy z zadaniami z teorii liczb

Post autor: »

Ad 3

\(\displaystyle{ \varphi (120)= \varphi (2^3)\varphi (3) \varphi(5) = (2^3-2^2) \cdot 2 \cdot 4 = 32}\)

Pozostałe zadanie są przepisane niechlujnie, pozostaje więc zgadywać o jaką treść chodzi:
vayneyks pisze:1) Udowodnij
\(\displaystyle{ 10|3^{4n+1}+1}\)
Chyba raczej: \(\displaystyle{ 10|\left( 3^{4n+2}+1 \right)}\) , bo w obecnej wersji to nieprawda.
4) Policz : \(\displaystyle{ 5x+4y=21}\)
Chyba raczej: "Rozwiąż w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\)"
5) Dla ciała \(\displaystyle{ 2n=5 \quad (\mathbb{Z}, +_5, \cdot_5)}\)
Policz \(\displaystyle{ x^2+2x+1}\)
Chyba raczej: "Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^2+2x+1=0}\) w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\)"

Q.
ODPOWIEDZ