Niewymiernosc trzech pierwiastkow

[voldi9]

Witam,
jak udowodnic ze \(\displaystyle{ \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{2}}\) jest niewymierne? Umiem to udowodnic tylko dla dwoch pierwiastkow...

i przy okazji:
jak udowodnic ze \(\displaystyle{ a^{2}}\) nie moze miec 4 takich samych ostatnich cyfr, a jesli 3 to tylko 1444 (\(\displaystyle{ 38^{2}}\))

[JankoS]

Próbowałbym wykazać ogólne: suma dwóch dodatnich luczb niewymiernych jest kiczbą niewymierną.
To jest nieprawda, na co zwrócił mi uwagę Kolega xanowron, za co jeszcze raz dziękuję.

[voldi9]

hmm... dla \(\displaystyle{ \sqrt{3} + \sqrt{2} = x; x^{2} = 5 + 2\sqrt{6} \Rightarrow \sqrt{6} = \frac{x^{2}-5}{2}, x^{2}}\) jest niewymierna, wiec x tez. Taki dowod przedstawial nam profesor.

[JankoS]

Myślałem o czymś ogólniejszym., ale można i tak.
Przypuśćmy,że \(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5} =w}\) jest liczbą wymierną.
\(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5} =w \Rightarrow \sqrt{3} + \sqrt{5} =w-\sqrt{2} \Rightarrow 8+2 \sqrt{15} =w^2-2w \sqrt{2} +2 \Rightarrow \sqrt{15}+w \sqrt{2}= \frac{w^2}{2} -3 \Rightarrow15+2w \sqrt{30} +2w^2= \left(\frac{w^2}{2} -3 \right)^2 \Rightarrow \sqrt{30}= \frac{\left(\frac{w^2}{2} -3 \right)^2-15-2w^2}{2}.}\)
Otrzymalismy sprzeczność: lewa strona jest liczbą niewymierną, prawa - wymierną. Przypuszczenie, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}}\) jest liczbą wymierną doprowadziło do sprzeczności, a więc okazało się fałszywe.

[xanowron]

Próbowałbym wykazać ogólne: suma dwóch dodatnich luczb niewymiernych jest kiczbą niewymierną.

Ale przecież jak weźmiemy:
\(\displaystyle{ a=5- \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ b=5+ \sqrt{2}}\)
To \(\displaystyle{ a+b=10}\)

[JankoS]

Próbowałbym wykazać ogólne: suma dwóch dodatnich luczb niewymiernych jest kiczbą niewymierną.

Ale przecież jak weźmiemy:
\(\displaystyle{ a=5- \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ b=5+ \sqrt{2}}\)
To \(\displaystyle{ a+b=10}\)

Racja. Dziękuję za uwagę. Jiż poprawiam.

[Citizen]

robisz nie wprost:

\(\displaystyle{ \sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{2}=w}\) zakładamy że ich suma jest jednak jakąs liczbą wymierną, teraz przenosimy :

\(\displaystyle{ \sqrt{3}+\sqrt{5}=w-\sqrt{2}}\) i podnosimy do kwadratu

\(\displaystyle{ 3+2\sqrt{15}+5=w^{2}-2\sqrt{2}w+2}\) teraz znowu grupujemy

\(\displaystyle{ 2\sqrt{15}-2\sqrt{2}w=w^{2}-6}\)

\(\displaystyle{ w^{2}-6}\) to jakaś liczba wymierna dla ułatwienia nazwiemy ją teraz \(\displaystyle{ w_{2}}\), mamy:

\(\displaystyle{ 2\sqrt{15}-2\sqrt{2}w=w_{2}}\) znowu do kwadratu

\(\displaystyle{ 60-8\sqrt{30}w+8w=w_{2}^{2}}\) grupujemy:

\(\displaystyle{ \sqrt{30}=- \frac{w_{2}^{2}-60-8w}{8w}}\) po prawej stronie mamy liczbę wymierną, więc \(\displaystyle{ \sqrt{30}}\) byłby wymierny, otrzymujemy sprzeczność (dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{30}}\) jest już raczej łatwy) czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\) jest niewymierne

Jak są jakieś literówki to sorry, ale sposób chyba jasny ;D-- 24 lis 2009, o 19:00 --Nie zauważyłem że JankoS już zrobił dobra neich sobie zostanie ;P