Nie wiem czy w dobrym miejscu umieściłem temat, ponieważ ta nierówność jest skutkiem moich działań w innym dziale matematyki.
Nierówność na 100 procent jest przepisana poprawnie. To mówię dla tych, którzy mogą mieć wątpliwości, co do tego "tasiemca". Wszystko jest w liczbach naturalnych, umieściłem te zadanie w tym miejscu.
\(\displaystyle{ (2 ^{n}-2)n^{3} - 6n^{2} -4(3*2^{n-1} + 1)n - 7*2^{n} +1 > 0}\)
Wiem, że dla n = 0, 1, 2, 3, 4 nierówność nie jest spełniona.
Dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 5}\) już jest (tak przypuszczam), ale to tylko przez to, że podstawiałem suche liczby. A przydałoby się to jakoś udowodnić. Ma ktoś może jakieś pomysły/sugestie/podpowiedzi dla mnie?
Będę bardzo wdzięczny za pomoc.
Udowodnienie nierówności
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Udowodnienie nierówności
Szkic dowodu:
Jak się to przekształci, to się otrzymuje coś takiego (oczywiście przy odpowiednich założeniach):
\(\displaystyle{ 2^n(n^3-6n-7)>2n^3+6n^2+4n-1 \ \Rightarrow \ 2^n>2+\frac{6n^2+16n-13}{n^3-6n-7}}\)
Ten ułamek dąży do 0, więc nierówność od pewnego momentu jest na pewno spełniona. Pozostaje tylko ustalenie tego momentu (wpływ na to ma również znak wielomianu, przez który podzieliłam - od pewnego momentu przyjmuje on na pewno wartości dodatnie, bo jego granicą jest nieskończoność).
Pozdrawiam.
Jak się to przekształci, to się otrzymuje coś takiego (oczywiście przy odpowiednich założeniach):
\(\displaystyle{ 2^n(n^3-6n-7)>2n^3+6n^2+4n-1 \ \Rightarrow \ 2^n>2+\frac{6n^2+16n-13}{n^3-6n-7}}\)
Ten ułamek dąży do 0, więc nierówność od pewnego momentu jest na pewno spełniona. Pozostaje tylko ustalenie tego momentu (wpływ na to ma również znak wielomianu, przez który podzieliłam - od pewnego momentu przyjmuje on na pewno wartości dodatnie, bo jego granicą jest nieskończoność).
Pozdrawiam.